Около правильной треугольной призмы описан шар диаметром 52 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если сторона её основания равна 10√3 см.

Привет! Давай решим эту задачку по геометрии вместе.

Что нам дано?

• Шар, описанный около правильной треугольной призмы, имеет диаметр 52 см.
• Сторона основания призмы равна $$10\sqrt{3}$$ см.

Что нужно найти?

• Площадь боковой поверхности призмы.

Разберем по шагам:

1. Радиус шара: Так как диаметр шара 52 см, его радиус будет $$R = \frac{52}{2} = 26$$ см.
2. Радиус описанной окружности основания призмы: Для правильного треугольника радиус описанной окружности (R_осн) связан со стороной (a) формулой: $$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$. В нашем случае: $$R_{осн} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10$$ см.
3. Высота призмы: Вспомним, что центр шара, описанного около призмы, лежит на середине высоты призмы. Радиус шара (R) связан с радиусом описанной окружности основания (R_осн) и половиной высоты призмы ($$h/2$$) как гипотенузой прямоугольного треугольника: $$R^2 = R_{осн}^2 + (\frac{h}{2})^2$$. Подставляем наши значения: $$26^2 = 10^2 + (\frac{h}{2})^2$$.
4. Вычисляем высоту: $$676 = 100 + \frac{h^2}{4}$$. Отсюда: $$\frac{h^2}{4} = 676 - 100 = 576$$. Тогда $$h^2 = 576 \times 4 = 2304$$. Извлекаем корень: $$h = \sqrt{2304} = 48$$ см.
5. Площадь боковой поверхности призмы: Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту: $$S_{бок} = P_{осн} \times h$$. Периметр правильного треугольника: $$P_{осн} = 3 \times a = 3 \times 10\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$$ см.
6. Финальный расчет: $$S_{бок} = 30\sqrt{3} \times 48 = 1440\sqrt{3}$$ см$$^2$$.

Ответ: $$1440\sqrt{3}$$ см$$^2$$