Около правильного многоугольника описана окружность, в него же вписана еще одна окружность. Площадь получившегося кольца равна 25π. Найдите длину стороны многоугольника.

Дано:

• Правильный многоугольник.
• Описанная окружность (радиус R).
• Вписанная окружность (радиус r).
• Площадь кольца S = 25π.

Найти: длину стороны многоугольника (a).

Решение:

1. Площадь кольца равна разности площадей описанной и вписанной окружностей: \( S = πR^2 - πr^2 \).
2. Нам дано, что \( S = 25π \).
3. Значит, \( π(R^2 - r^2) = 25π \).
4. Сокращаем на \( π \): \( R^2 - r^2 = 25 \).
5. Для правильного n-угольника радиусы описанной (R) и вписанной (r) окружностей связаны с длиной стороны (a) следующими формулами:
• \( R = \frac{a}{2 × sin(\frac{180^°}{n})} \)
• \( r = \frac{a}{2 × tg(\frac{180^°}{n})} \)
6. Подставим эти выражения в уравнение \( R^2 - r^2 = 25 \):
7. \( (\frac{a}{2 × sin(\frac{180^°}{n})})^2 - (\frac{a}{2 × tg(\frac{180^°}{n})})^2 = 25 \)
8. \( \frac{a^2}{4 × sin^2(\frac{180^°}{n})} - \frac{a^2}{4 × tg^2(\frac{180^°}{n})} = 25 \)
9. Вынесем \( \frac{a^2}{4} \) за скобки:
10. \( \frac{a^2}{4} × (\frac{1}{sin^2(\frac{180^°}{n})} - \frac{1}{tg^2(\frac{180^°}{n})}) = 25 \)
11. Воспользуемся тригонометрическим тождеством: \( \frac{1}{tg^2(x)} = \frac{cos^2(x)}{sin^2(x)} \).
12. \( \frac{1}{sin^2(x)} - \frac{cos^2(x)}{sin^2(x)} = \frac{1 - cos^2(x)}{sin^2(x)} = \frac{sin^2(x)}{sin^2(x)} = 1 \).
13. Пусть \( x = \frac{180^°}{n} \). Тогда выражение в скобках равно 1.
14. \( \frac{a^2}{4} × 1 = 25 \)
15. \( \frac{a^2}{4} = 25 \)
16. \( a^2 = 100 \)
17. \( a = 10 \) (так как длина стороны должна быть положительной).

Ответ: 10