оказать тождество

Разбираемся с тригонометрическими преобразованиями! На доске записаны примеры, давай их решим.

Начнем с первого выражения:

\[\frac{{\sin^2(\pi - \alpha) + \cos 2\alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}}{{\sin 2\alpha + 2\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}}\]

Упростим числитель и знаменатель:

\[\sin^2(\pi - \alpha) = \sin^2(\alpha)\]\[\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha)\]\[\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)\]

Тогда выражение примет вид:

\[\frac{{\sin^2(\alpha) + \cos 2\alpha + \cos(\alpha)}}{{\sin 2\alpha + 2\sin(\alpha)}}\]

Используем формулу двойного угла для косинуса:

\[\cos 2\alpha = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)\]

Тогда числитель:

\[\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) + \cos(\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) + \cos(\alpha)\]

Используем формулу двойного угла для синуса:

\[\sin 2\alpha = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\]

Тогда знаменатель:

\[2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) + 2\sin(\alpha) = 2\sin(\alpha) (\cos(\alpha) + 1)\]

Исходное выражение:

\[\frac{{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) + \cos(\alpha)}}{{2\sin(\alpha) (\cos(\alpha) + 1)}}\]

Дальше:

\[\frac{{\cos 2\alpha + \cos \alpha}}{{2 \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}} = \frac{{\cos \alpha (2 \cos \alpha - 1) + \cos \alpha}}{{2 \sin \alpha (1 + \cos \alpha)}} = \frac{{\cos \alpha (2 \cos \alpha)}}{{2 \sin \alpha (1 + \cos \alpha)}}\]

В итоге:

\[= \frac{1}{2} \ctg \alpha\]

Теперь рассмотрим второй столбик с примерами:

\[\sin 150^\circ\]

Преобразуем:

\[\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\]\[\cos \frac{5\pi}{3}\]

Преобразуем:

\[\cos \frac{5\pi}{3} = \cos (2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos (-\frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\]

Дано:

\[\cos \alpha = \frac{5}{13}\]\[0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\]

Нужно найти:

\[\sin d, \cos 2d\]

Так как \(\alpha\) в первой четверти, то \(\sin \alpha > 0\).

\[\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\]

Теперь найдем \(\cos 2\alpha\):

\[\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\frac{5}{13})^2 - (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169}\]

Следующее выражение:

\[\frac{{\sin(\alpha - \beta) + \sin \beta \cos \alpha}}{{\operatorname{tg} d}}\]

Преобразуем числитель:

\[\sin(\alpha - \beta) + \sin \beta \cos \alpha = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta + \sin \beta \cos \alpha = \sin \alpha \cos \beta\]

Тогда выражение:

\[\frac{{\sin \alpha \cos \beta}}{{\operatorname{tg} d}} = \frac{{\sin \alpha \cos \beta}}{{\frac{{\sin d}}{{\cos d}}}} = \frac{{\sin \alpha \cos \beta \cos d}}{{\sin d}}\]