Одноимённые заряды (q > 0, q = 18 нКл) расположены в вершинах треугольника с одинаковыми углами. Определи знак и значение заряда в точке пересечения его высот, сила взаимодействия которого уравновешивает силы, действующие между одноимёнными одинаковыми зарядами в вершинах треугольника. (Ответ округли до десятых.)

Решение:

Задача описывает ситуацию с тремя одинаковыми зарядами, расположенными в вершинах равностороннего треугольника. Нам нужно найти заряд в точке пересечения высот (которая также является центром треугольника), который уравновешивает силы, действующие между зарядами в вершинах.

1. Анализ сил:

1. Силы, действующие между зарядами в вершинах, являются силами Кулона. Поскольку заряды одноимённые (q > 0), они отталкиваются.
2. Рассмотрим две силы, действующие на заряд в одной из вершин, со стороны двух других зарядов. Эти силы имеют одинаковую величину, так как заряды равны, а расстояния между ними одинаковы.
3. В равностороннем треугольнике точка пересечения высот является центром масс и находится на одинаковом расстоянии от всех вершин.
4. Суммарная сила от двух зарядов в вершинах на третий заряд будет направлена вдоль биссектрисы угла, образованного сторонами, исходящими из этой вершины.

2. Требование равновесия:

Для того чтобы сила взаимодействия с искомым зарядом (обозначим его $$q_0$$) уравновешивала силы между зарядами вершин, этот заряд $$q_0$$ должен создавать силу, равную по величине и противоположную по направлению суммарной силе от двух зарядов в вершинах. Точка пересечения высот находится на равном расстоянии от всех трех вершин. В равностороннем треугольнике эта точка является центром, и вектор суммарной силы, действующей на любую вершину от двух других вершин, будет направлен от этой вершины к центру.

3. Определение знака заряда:

Силы, действующие между зарядами в вершинах, направлены от вершин друг к другу (силы отталкивания). Суммарная сила от двух зарядов, действующих на третий, будет направлена по линии, соединяющей эту вершину с центром треугольника. Чтобы уравновесить эту силу, заряд $$q_0$$ должен создавать силу, направленную в противоположную сторону, то есть от центра к вершине. Поскольку силы отталкивания между зарядами в вершинах направлены от них, заряд $$q_0$$, который находится в центре, должен притягивать их, чтобы уравновесить эти силы. Следовательно, заряд $$q_0$$ должен быть отрицательным.

4. Определение значения заряда:

Пусть $$q$$ — величина заряда в каждой вершине ($$q = 18$$ нКл), а $$r$$ — расстояние от центра до каждой вершины. Сила, действующая между двумя зарядами $$q$$ на расстоянии $$d$$ друг от друга, равна $$F = k \frac{q^2}{d^2}$$.

В равностороннем треугольнике точка пересечения высот (центр) находится на расстоянии $$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, где $$a$$ — длина стороны треугольника. Расстояние между зарядами в вершинах равно $$a$$.

Суммарная сила от двух зарядов $$q$$ (например, в вершинах 1 и 2) на заряд в вершине 3 будет направлена по биссектрисе угла, под углом 120° к прямой, соединяющей вершины 1 и 2. Вектор этой суммарной силы будет направлен от вершины 3 к центру треугольника.

Величина силы между двумя зарядами $$q$$ на расстоянии $$a$$ равна $$F_{12} = k \frac{q^2}{a^2}$$.

Сила, действующая на заряд в вершине 3 со стороны зарядов в вершинах 1 и 2, имеет две составляющие: одна направлена по линии, соединяющей вершину 3 с центром, а другая — перпендикулярно этой линии. Суммарная сила от двух зарядов будет направлена точно вдоль биссектрисы угла, т.е. к центру треугольника. Величина этой суммарной силы $$F_{sum}$$ равна $$2 \times F_{12} \times \text{cos}(30^\text{o}) = 2 \times k \frac{q^2}{a^2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = k \frac{\sqrt{3} q^2}{a^2}$$.

Сила взаимодействия между зарядом $$q$$ в вершине и зарядом $$q_0$$ в центре на расстоянии $$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ равна $$F_{center} = k \frac{|q \times q_0|}{r^2} = k \frac{q |q_0|}{(a/\sqrt{3})^2} = k \frac{3q |q_0|}{a^2}$$.

Для равновесия $$F_{sum} = F_{center}$$:

$$k \frac{\sqrt{3} q^2}{a^2} = k \frac{3q |q_0|}{a^2}$$

$$\sqrt{3} q = 3 |q_0|$$

$$|q_0| = \frac{\sqrt{3} q}{3} = \frac{q}{\sqrt{3}}$$

Теперь подставим значение $$q = 18$$ нКл:

$$|q_0| = \frac{18 \text{ нКл}}{\sqrt{3}} \approx \frac{18}{1.732} \approx 10.3923$$ нКл.

Округляем до десятых: 10.4 нКл.

Итого:

1) знак заряда: минус

2) значение заряда: 10.4