Однажды бизнесмен заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который в течение 12 дней ежедневно должен был приносить по 1500 рублей, а взамен в первый день богач должен был отдать 10 рублей, во второй — 20, в третий — 40, в четвертый — 80 и так далее в течение 12 дней. В конце 12 дня богач понял, что проиграл. В ответ запишите, сколько рублей потерял богач за 12 дней.

Решение:

Давай разберёмся, сколько денег отдал богач за 12 дней. Это похоже на геометрическую прогрессию!

1. День 1: богач отдал 10 рублей.
2. День 2: богач отдал 20 рублей (10 * 2).
3. День 3: богач отдал 40 рублей (20 * 2).
4. День 4: богач отдал 80 рублей (40 * 2).

Видишь закономерность? Каждый день сумма удваивается. Это геометрическая прогрессия, где первый член a₁ = 10, а знаменатель q = 2. Нам нужно найти сумму первых 12 членов этой прогрессии (S₁₂).

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

Подставим наши значения:

\[ S_{12} = 10 \frac{2^{12} - 1}{2 - 1} \]

Сначала посчитаем 2¹²:

\[ 2^{10} = 1024 \]

2¹¹ = 1024 * 2 = 2048

\[ 2^{12} = 2048 * 2 = 4096 \]

Теперь подставим это в формулу:

\[ S_{12} = 10 \frac{4096 - 1}{1} = 10 \cdot 4095 = 40950 \]

Итак, богач отдал всего 40950 рублей за 12 дней.

Теперь посчитаем, сколько денег он получил от бизнесмена:

Каждый день бизнесмен приносил по 1500 рублей. За 12 дней он принёс:

\[ 1500 \text{ руб/день} \cdot 12 \text{ дней} = 18000 \text{ рублей} \]

Богач проиграл, потому что отдал больше, чем получил. Чтобы узнать, сколько он потерял, нужно вычесть полученную сумму из отданной:

\[ 40950 \text{ (отдал)} - 18000 \text{ (получил)} = 22950 \text{ рублей} \]

Ответ: богач потерял 22950 рублей.