Одна из сторон угла с вершиной Q пересекает окружность в точках P и S и проходит через её центр O. Другая сторона этого угла касается окружности в точке R. Дополните таблицу возможных значений величины угла QPR в зависимости от величины угла PQR.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Анализ диаграммы: Угол \(\angle QPR\) является вписанным углом, опирающимся на дугу \(PR\). Угол \(\angle POR\) является центральным углом, опирающимся на ту же дугу \(PR\). Угол \(\angle QSR\) также является вписанным углом, опирающимся на дугу \(PR\).
• Связь центрального и вписанного углов: Центральный угол равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Следовательно, \(\angle POR = 2 \cdot \angle QSR\) и \(\angle POR = 2 \cdot \angle QPR\).
• Свойство касательной: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, \(\angle ORQ = 90^°\) (если \(Q\) находится на касательной \(QR\)). Однако, в данном случае \(QR\) — это секущая, и \(R\) — точка касания. Следовательно, угол между касательной \(QR\) и хордой \(PR\) равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \(PR\), то есть \(\angle QRP = \angle QSP\).
• Треугольник QOR: \(QO = OR\) (радиусы), значит \(\triangle QOR\) — равнобедренный.
• Треугольник QOS: \(QO = OS\) (радиусы), значит \(\triangle QOS\) — равнобедренный.
• Треугольник POS: \(PO = OS\) (радиусы), значит \(\triangle POS\) — равнобедренный.
• Рассмотрим случай, когда QR является касательной: Если \(QR\) — касательная, то \(\angle QRO = 90^°\). В \(\triangle QOR\), \(\angle OQR + \angle ORQ + \angle QOR = 180^°\). \(\angle OQR + 90^° + \angle QOR = 180^°\) => \(\angle OQR = 90^° - \angle QOR\). \(\angle PQR = \angle OQR\). \(\angle QPR = \angle QSR = \frac{1}{2} ∠ POR\). \(\angle QOR = 180^° - 2 ∠ OQR = 180^° - 2 ∠ PQR\).
• Связь углов в треугольнике QPR: \(\angle QPR + \angle PQR + \angle PRQ = 180^°\).
• В данной задаче: \(QS\) проходит через центр \(O\). \(QR\) — касательная в точке \(R\). \(\angle QPR\) — вписанный угол. \(\angle PQR\) — угол при вершине \(Q\). \(\angle QRO = 90^°\). \(\triangle QOR\) — равнобедренный. \(\angle QOR = 180^° - 2∠ OQR\). \(\angle QPR = \frac{1}{2} ∠ POR\). \(\angle POR = 180^° - ∠ QOR = 180^° - (180^° - 2∠ OQR) = 2∠ OQR = 2∠ PQR\).
• Таким образом: \(\angle QPR = rac{1}{2} ∠ POR = rac{1}{2} (2∠ PQR) = ∠ PQR\).
• Проверка по рисунку: На рисунке \(eta\) обозначает \(\angle PQR\) и \(\alpha\) обозначает \(\angle QPR\). Угол \(eta\) выглядит меньше \(\alpha\).
• Переосмысление: \(QS\) — диаметр. \(QR\) — касательная. \(\angle QRO = 90^°\). \(\triangle QOR\) равнобедренный, \(QO=OR\). \(\angle OQR = ∠ ORQ = eta\). \(\angle QOR = 180^° - 2eta\). \(\angle POR = 180^° - ∠ QOR = 180^° - (180^° - 2eta) = 2eta\). \(\angle QPR\) — вписанный, опирается на дугу \(SR\). \(\angle SOR = 180^° - ∠ QOR = 180^° - (180^° - 2eta) = 2eta\). \( ext{Дуга } SR = 2eta\). \( ext{Угол } QPR = rac{1}{2} ext{Дуга } SR = rac{1}{2} (2eta) = eta\).
• Итак: \(∠ QPR = ∠ PQR\).
• Заполняем таблицу: