Решение треугольника

Дано: треугольник ABC, AC = $$ \sqrt{12} - 2 $$, ∠B = 15°, ∠A = 45°.

Найти: AB, BC, ∠C.

1. Найдем угол C: $$ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 15° = 120° $$
2. Применим теорему синусов: $$ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} $$ Отсюда: $$ \frac{\sqrt{12} - 2}{\sin 15°} = \frac{AB}{\sin 120°} = \frac{BC}{\sin 45°} $$
3. Выразим и найдем AB: $$ AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{(\sqrt{12} - 2) \cdot \sin 120°}{\sin 15°} $$ Учитывая, что $$ \sin 120° = \sin (180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ и $$ \sin 15° = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} $$, получаем: $$ AB = \frac{(\sqrt{12} - 2) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}} = \frac{(\sqrt{12} - 2) \cdot \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}}{2 \cdot (\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{4\cdot3} - 2) \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{(\sqrt{3}-1)} = \frac{(2\sqrt{3} - 2) \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1) \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{(\sqrt{3}-1)} = 2 \sqrt{3} \sqrt{2} = 2 \sqrt{6} $$
4. Выразим и найдем BC: $$ BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{(\sqrt{12} - 2) \cdot \sin 45°}{\sin 15°} $$ Учитывая, что $$ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ и $$ \sin 15° = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} $$, получаем: $$ BC = \frac{(\sqrt{12} - 2) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}} = \frac{(\sqrt{12} - 2) \cdot \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}{2 \cdot (\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{4\cdot3} - 2) \cdot 2}{(\sqrt{3}-1)} = \frac{(2\sqrt{3} - 2) \cdot 2}{(\sqrt{3}-1)} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3}-1)} = 4 $$

Ответ:

• $$ AB = 2\sqrt{6} $$
• $$ BC = 4 $$
• $$ ∠C = 120° $$