Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найти гипотенузу треугольника. Билет №15

Решение:

Обозначим углы прямоугольного треугольника как \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \). Пусть \( \gamma = 90^{\circ} \). По условию, один из углов равен 60°, значит, \( \alpha = 60^{\circ} \). Второй острый угол \( \beta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Пусть \( c \) — гипотенуза, \( a \) — катет, противолежащий углу \( \alpha \), и \( b \) — катет, противолежащий углу \( \beta \).

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий меньшему углу (30°), равен половине гипотенузы. Следовательно, \( b = \frac{1}{2}c \).

По условию, сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Меньшим катетом является \( b \), так как он противолежит меньшему острому углу (30°).

Составим уравнение:

\( c + b = 26.4 \)

Подставим \( b = \frac{1}{2}c \) в уравнение:

\( c + \frac{1}{2}c = 26.4 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{2c + c}{2} = 26.4 \)

\( \frac{3c}{2} = 26.4 \)

Выразим \( c \):

\( c = 26.4 \cdot \frac{2}{3} \)

\( c = \frac{52.8}{3} \)

\( c = 17.6 \) см.

Проверим:

Если \( c = 17.6 \) см, то \( b = \frac{1}{2} \cdot 17.6 = 8.8 \) см.

\( c + b = 17.6 + 8.8 = 26.4 \) см. Условие выполняется.

Ответ: гипотенуза треугольника равна 17,6 см.