Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Решение: Пусть меньший острый угол равен x, тогда больший острый угол равен 2x. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то: $$x + 2x = 90$$ $$3x = 90$$ $$x = 30$$° Итак, углы равны 30° и 60°. Пусть a - меньший катет (лежащий напротив угла 30°), c - гипотенуза. Известно, что $$c - a = 15$$. В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы, то есть: $$a = \frac{1}{2}c$$ Подставим это выражение в уравнение $$c - a = 15$$: $$c - \frac{1}{2}c = 15$$ $$\frac{1}{2}c = 15$$ $$c = 30$$ см Теперь найдем меньший катет: $$a = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$$ см Ответ: Гипотенуза равна 30 см, меньший катет равен 15 см.