619. Один из лыжников прошел расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой.

Решение:

Пусть скорость первого лыжника $$x$$ км/ч, тогда скорость второго лыжника $$x + 2$$ км/ч. Время, которое затратил первый лыжник $$ \frac{20}{x}$$ ч, время, которое затратил второй лыжника $$ \frac{20}{x+2}$$ ч. Из условия задачи известно, что первый лыжник был в пути на 20 мин ( $$ \frac{1}{3}$$ ч) больше, чем второй.

Составим уравнение:

$$\frac{20}{x} - \frac{20}{x+2} = \frac{1}{3}$$

Решим уравнение:

$$\frac{20(x+2) - 20x}{x(x+2)} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{20x+40-20x}{x^2+2x} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{40}{x^2+2x} = \frac{1}{3}$$ $$x^2+2x = 120$$ $$x^2+2x - 120 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$$.

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$.

Второй корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Скорость первого лыжника равна 10 км/ч, тогда скорость второго лыжника 10 + 2 = 12 км/ч.

Ответ: 10 км/ч, 12 км/ч.