ОДГОТВКА К Контрольной работе. Соотношения между сторонами и углами треугольника. І вариант І Часть (5 баллов) 1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98°. Найдите два других угла 2. Сравните угла треугольника АВС, если АВ > АС > ВС 3. В прямоугольном треугольнике CDF с прямым углом С гипотенуза DF=18 см. Найдите DC, если ∠F = 30° 4. Существует ли треугольник со сторонами 8,7 см, 5,3 см, 3,5 см? 5. В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом К найдите ∠М, если MN = 9,8 см, NК = 4,9 см II Часть (4 балла) 6. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 27 см. Найдите гипотенузу и меньший катет 7. Найдите углы треугольника АВС, если угол С на 95° меньше угла А и в 3 раза меньше угла В. III Часть (3 балла) 8. Постройте прямоугольный треугольник по катету и острому углу

І Часть (5 баллов)

1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98°. Найдите два других угла

• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Пусть угол при вершине равен 98°.
• Тогда сумма двух других углов равна: 180° - 98° = 82°.
• Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: 82° : 2 = 41°.

Ответ: 41°, 41°

2. Сравните углы треугольника АВС, если АВ > АС > ВС

• Против стороны АВ лежит угол С.
• Против стороны АС лежит угол В.
• Против стороны ВС лежит угол А.
• Так как АВ > АС > ВС, то угол С > угла В > угла А.

Ответ: ∠C > ∠B > ∠A

3. В прямоугольном треугольнике CDF с прямым углом С гипотенуза DF=18 см. Найдите DC, если ∠F = 30°

• В прямоугольном треугольнике CDF, ∠С = 90°, DF = 18 см, ∠F = 30°.
• DC - катет, лежащий против угла F.
• Следовательно, DC = DF / 2 = 18 см / 2 = 9 см.

Ответ: DC = 9 см

4. Существует ли треугольник со сторонами 8,7 см, 5,3 см, 3,5 см?

• Проверим: 8,7 см + 5,3 см > 3,5 см (14 > 3,5) - верно.
• 8,7 см + 3,5 см > 5,3 см (12,2 > 5,3) - верно.
• 5,3 см + 3,5 см > 8,7 см (8,8 > 8,7) - верно.
• Так как все условия выполняются, треугольник существует.

Ответ: Да, треугольник существует.

5. В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом К найдите ∠М, если MN = 9,8 см, NК = 4,9 см

• В прямоугольном треугольнике MNK ∠K = 90°, MN = 9,8 см, NK = 4,9 см.
• NK - катет, лежащий против угла M.
• NK = MN / 2, следовательно, ∠M = 30°.

Ответ: ∠M = 30°

II Часть (4 балла)

6. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 27 см. Найдите гипотенузу и меньший катет

• Пусть прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, ∠A = 60°. Тогда ∠B = 30°.
• Пусть a - меньший катет (против угла 30°), c - гипотенуза.
• Дано: a + c = 27.
• Известно, что a = c / 2.
• Подставляем в уравнение: c / 2 + c = 27.
• 3c / 2 = 27.
• c = 27 * 2 / 3 = 18 см (гипотенуза).
• a = 18 / 2 = 9 см (меньший катет).

Ответ: Гипотенуза = 18 см, меньший катет = 9 см.

7. Найдите углы треугольника АВС, если угол С на 95° меньше угла А и в 3 раза меньше угла В.

• Пусть ∠C = x, тогда ∠A = x + 95°, ∠B = 3x.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• x + (x + 95°) + 3x = 180°.
• 5x + 95° = 180°.
• 5x = 85°.
• x = 17°.
• ∠C = 17°, ∠A = 17° + 95° = 112°, ∠B = 3 * 17° = 51°.

Ответ: ∠A = 112°, ∠B = 51°, ∠C = 17°

III Часть (3 балла)

8. Постройте прямоугольный треугольник по катету и острому углу

1. Сначала постройте прямой угол (90°).
2. Отложите на одной из сторон угла заданный катет.
3. Из вершины прямого угла проведите луч под заданным острым углом к другому катету.
4. Точка пересечения луча и другого катета даст вершину треугольника.

Ответ: Построение выполнено по указанным шагам.