Обязательная часть Определите, рациональными или иррациональными числами являются корни уравнения 2x² + 5x - 12 = 0. Решите уравнение (2-5). 4x² + 1 = 0. 3x² - x = x². 2x²-3x-14 = 0. (x + 1) (3x + 1) = 5. Разложите, если возможно, на множители многочлен x² - 9x + 8.

1. Определите, рациональными или иррациональными числами являются корни уравнения 2x² + 5x - 12 = 0.

Для начала решим квадратное уравнение:

\[2x^2 + 5x - 12 = 0\]

Вычислим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121\]

Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем их:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 11}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 11}{4} = \frac{-16}{4} = -4\]

Оба корня (1.5 и -4) являются рациональными числами, так как они могут быть представлены в виде дроби, где числитель и знаменатель - целые числа.

2. Решите уравнение (2-5).

2. 4x² + 1 = 0

\[4x^2 + 1 = 0\] \[4x^2 = -1\] \[x^2 = -\frac{1}{4}\]

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных решений.

3. 3x² - x = x²

\[3x^2 - x = x^2\] \[2x^2 - x = 0\] \[x(2x - 1) = 0\]

Следовательно, либо x = 0, либо 2x - 1 = 0:

\[x_1 = 0\] \[2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}\]

Корни: x₁ = 0, x₂ = 1/2

4. 2x² - 3x - 14 = 0

\[2x^2 - 3x - 14 = 0\]

Вычислим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121\]

Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем их:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 11}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 11}{4} = \frac{-8}{4} = -2\]

Корни: x₁ = 3.5, x₂ = -2

5. (x + 1) (3x + 1) = 5

\[(x + 1)(3x + 1) = 5\] \[3x^2 + x + 3x + 1 = 5\] \[3x^2 + 4x + 1 - 5 = 0\] \[3x^2 + 4x - 4 = 0\]

Вычислим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\]

Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем их:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2\]

Корни: x₁ = 2/3, x₂ = -2

3. Разложите, если возможно, на множители многочлен x² - 9x + 8.

\[x^2 - 9x + 8\]

Ищем два числа, которые в сумме дают -9, а в произведении 8. Это числа -1 и -8:

\[x^2 - 9x + 8 = (x - 1)(x - 8)\]

Многочлен разложен на множители: (x - 1)(x - 8).