ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 18 Прямоугольный треугольник ВАРИАНТ 1 1. Треугольник АВС – прямоугольный с прямым углом С, отрезок CD является его высотой. Найдите острые углы треугольника АВС, если ∠ACD = 42°. 2*. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой МК, АМ и ВК – перпендикуляры к этой прямой. Докажите, что ΔАМК = Δ ВКМ, если АК = BM. ВАРИАНТ 2 1. Треугольник АВС – прямоугольный с прямым углом С, отрезок CD является его высотой. Найдите острые углы треугольника АВС, если ∠ BCD = 37°. 2*. К прямой АВ проведены в разные полуплоскости перпендикуляры АМ и ВК. Отрезки МК и АВ пересекаются в точке О. Докажите, что ДАОМ = ∆ ВОК, если известно, что АМ = BK. ВАРИАНТ 3 1. Треугольник АВС – прямоугольный с прямым углом С, отрезок CD является его высотой. Докажите, что у треугольников АВС и ACD углы соответственно равны. 2*. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой, АМ и ВК – перпендикуляры к этой прямой. Докажите, что ДАМК = ∆ ВКМ, если / МАК = ∠ MBK. ВАРИАНТ 4 1. Треугольник АВС – прямоугольный с прямым углом С, отрезок CD является его высотой. Докажите, что у треугольников АВС, BCD углы соответственно равны. 2*. К прямой АВ проведены в разные полуплоскости перпендикуляры АМ и ВК. Отрезки МК и АВ пересекаются в точке О. Докажите, что ДАОМ = ДВОК, если известно, что О – середина отрезка МК.

Вариант 1

1. Давай решим задачу про прямоугольный треугольник ABC. Нам дано, что угол ACD равен 42 градусам, и нужно найти острые углы треугольника ABC.

Так как CD - высота, то угол ADC равен 90 градусам. Рассмотрим треугольник ADC: углы ACD и CAD в сумме дают 90 градусов (потому что это острые углы в прямоугольном треугольнике). Значит, угол CAD = 90 - 42 = 48 градусов.

Угол CAD - это то же самое, что угол BAC в большом треугольнике ABC. Так как угол ACB прямой (90 градусов), то угол ABC = 90 - 48 = 42 градуса.

Ответ: ∠BAC = 48°, ∠ABC = 42°

2. Для доказательства равенства треугольников ΔАМК и ΔBKM, нам дано, что AK = BM, и известно, что AM и BK - перпендикуляры к прямой MK.

Рассмотрим треугольники ΔАМК и ΔBKM. У них:

• AM и BK - перпендикуляры к MK, следовательно, углы AMK и BKM прямые (равны 90 градусов).
• AK = BM (дано).
• MK - общая сторона.

Таким образом, треугольники ΔАМК и ΔBKM равны по гипотенузе и катету (прямоугольные треугольники с равными гипотенузами и катетами).

Ответ: ΔАМК = ΔBKM по гипотенузе и катету.

Вариант 2

1. Треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом C, CD - высота. Надо найти острые углы треугольника ABC, если угол BCD = 37°.

Так как CD - высота, то угол CDB = 90°. Рассмотрим треугольник BCD: углы BCD и CBD в сумме дают 90° (острые углы в прямоугольном треугольнике). Значит, угол CBD = 90° - 37° = 53°.

Угол CBD - это то же самое, что угол ABC в большом треугольнике ABC. Так как угол ACB прямой (90°), то угол BAC = 90° - 53° = 37°.

Ответ: ∠BAC = 37°, ∠ABC = 53°

2. К прямой AB проведены перпендикуляры AM и BK. Отрезки MK и AB пересекаются в точке O. Нужно доказать, что ΔAOM = ΔBOK, если известно, что AM = BK.

Рассмотрим треугольники ΔAOM и ΔBOK. У них:

• AM = BK (дано).
• Углы AMO и BKO прямые (AM и BK - перпендикуляры к AB).
• Углы AOM и BOK равны как вертикальные.

Таким образом, треугольники ΔAOM и ΔBOK равны по стороне и двум прилежащим углам (AM = BK, ∠AMO = ∠BKO, ∠AOM = ∠BOK).

Ответ: ΔAOM = ΔBOK по стороне и двум прилежащим углам.

Вариант 3

1. Треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом C, CD - высота. Нужно доказать, что у треугольников ABC и ACD углы соответственно равны.

Рассмотрим треугольники ABC и ACD:

• Угол C в треугольнике ABC прямой (90°).
• Угол ADC в треугольнике ACD прямой (CD - высота).
• Угол A общий для обоих треугольников.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то третий угол в обоих треугольниках также должен быть равен: ∠ABC = 180° - 90° - ∠A = 90° - ∠A, и ∠ACD = 180° - 90° - ∠A = 90° - ∠A.

Таким образом, углы ABC и ACD равны, и все углы соответственно равны.

Ответ: Углы треугольников ABC и ACD соответственно равны.

2. Точки A и B лежат по разные стороны от прямой, AM и BK - перпендикуляры к этой прямой. Нужно доказать, что ΔAMK = ΔBKM, если ∠MAK = ∠MBK.

Рассмотрим треугольники ΔAMK и ΔBKM. У них:

• Углы AMK и BKM прямые (AM и BK - перпендикуляры).
• ∠MAK = ∠MBK (дано).
• MK - общая сторона.

Таким образом, треугольники ΔAMK и ΔBKM равны по стороне и двум прилежащим углам (MK - общая, ∠AMK = ∠BKM, ∠MAK = ∠MBK).

Ответ: ΔAMK = ΔBKM по стороне и двум прилежащим углам.

Вариант 4

1. Треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом C, CD - высота. Нужно доказать, что у треугольников ABC и BCD углы соответственно равны.

Рассмотрим треугольники ABC и BCD:

• Угол C в треугольнике ABC прямой (90°).
• Угол CDB в треугольнике BCD прямой (CD - высота).
• Угол B общий для обоих треугольников.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то третий угол в обоих треугольниках также должен быть равен: ∠BAC = 180° - 90° - ∠B = 90° - ∠B, и ∠BCD = 180° - 90° - ∠B = 90° - ∠B.

Таким образом, углы BAC и BCD равны, и все углы соответственно равны.

Ответ: Углы треугольников ABC и BCD соответственно равны.

2. К прямой AB проведены перпендикуляры AM и BK. Отрезки MK и AB пересекаются в точке O. Нужно доказать, что ΔAOM = ΔBOK, если известно, что O - середина отрезка MK.

Рассмотрим треугольники ΔAOM и ΔBOK. У них:

• Углы AMO и BKO прямые (AM и BK - перпендикуляры к AB).
• MO = OK (O - середина MK).
• Углы AOM и BOK равны как вертикальные.

Треугольники ΔAOM и ΔBOK равны по стороне и двум прилежащим углам (MO = OK, ∠AMO = ∠BKO = 90°, ∠AOM = ∠BOK).

Ответ: ΔAOM = ΔBOK по стороне и двум прилежащим углам.

Ответ: [Все решения выше]

Отлично! Ты разобрался с этой темой. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!