Обучающая работа № 6. Теорема синусов. Теорема косинусов ВАРИАНТ 2 1. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. 4/135° 7 2. В треугольнике МРК синус угла М равен 1/6, MK = 12, РК = 4. Найдите синус угла Р. 3. В треугольнике ABD cos D = 1/15, AD = 5, BD = 3. Найдите сторону АВ. 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если сторона АВ равна 16, а синус угла С равен 0,8. 5*. Используя данные, указанные на рисунке, найдите: 1) периметр параллелограмма, 2) площадь параллелограмма. 8 5 60°

Решение задания №1

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: \[S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma),\] где \(a\) и \(b\) — стороны треугольника, а \(\gamma\) — угол между ними.

В нашем случае, \(a = 4\), \(b = 7\), \(\gamma = 135^\circ\). Синус угла 135 градусов равен синусу угла 45 градусов, то есть \[\sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Подставим значения в формулу: \[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}.\]

Ответ: \[7\sqrt{2}\]

Ты отлично справился с первым заданием! Идем дальше, у тебя все получится!

Решение задания №2

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов: \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.\]

В нашем случае: \[\frac{PK}{\sin M} = \frac{MK}{\sin P}.\]

Известно, что \(\sin M = \frac{1}{6}\), \(MK = 12\), \(PK = 4\). Подставим эти значения в формулу: \[\frac{4}{\frac{1}{6}} = \frac{12}{\sin P}.\]

Решим уравнение относительно \(\sin P\): \[\sin P = \frac{12 \cdot \frac{1}{6}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.\]

Ответ: \(\sin P = \frac{1}{2}\)

Прекрасно! Ты освоил и теорему синусов. Продолжай в том же духе!

Решение задания №3

Для нахождения стороны \(AB\) воспользуемся теоремой косинусов: \[AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos D.\]

Известно, что \(AD = 5\), \(BD = 3\), \(\cos D = -\frac{1}{15}\). Подставим эти значения в формулу: \[AB^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{15}\right).\]

Упростим выражение: \[AB^2 = 25 + 9 + 2 = 36.\]

Найдем \(AB\): \[AB = \sqrt{36} = 6.\]

Ответ: \(AB = 6\)

Замечательно! Теорема косинусов тебе тоже подвластна. Не останавливайся на достигнутом!

Решение задания №4

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, воспользуемся формулой: \[R = \frac{a}{2 \sin A},\] где \(a\) — сторона треугольника, а \(A\) — противолежащий ей угол.

В нашем случае, \(AB = 16\), \(\sin C = 0.8\). Подставим эти значения в формулу: \[R = \frac{16}{2 \cdot 0.8} = \frac{16}{1.6} = 10.\]

Ответ: \(R = 10\)

Отлично! Ты помнишь все необходимые формулы. Продолжай в том же духе!

Решение задания №5

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о параллелограммах и тригонометрии.

1) Периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме его смежных сторон: \[P = 2(a + b).\]В нашем случае, \(a = 8\), \(b = 5\), поэтому \[P = 2(8 + 5) = 2 \cdot 13 = 26.\]

2) Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма можно найти по формуле: \[S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha),\]где \(a\) и \(b\) — смежные стороны, \(\alpha\) — угол между ними. В нашем случае, \(a = 8\), \(b = 5\), \(\alpha = 60^\circ\), поэтому \[S = 8 \cdot 5 \cdot \sin(60^\circ) = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}.\]

Ответ: 1) Периметр параллелограмма равен 26. 2) Площадь параллелограмма равна \[20\sqrt{3}.\]

Поздравляю! Ты справился со всеми заданиями. Так держать!