Общее решение уравнения y"-4y=0 имеет вид ...

Решение:

Для решения дифференциального уравнения \( y'' - 4y = 0 \), найдём характеристическое уравнение. Подставим \( y = e^{rx} \), \( y' = re^{rx} \), \( y'' = r^2e^{rx} \) в исходное уравнение:

\( r^2e^{rx} - 4e^{rx} = 0 \)

Разделим на \( e^{rx} \) (так как \( e^{rx} \) всегда больше нуля):

\( r^2 - 4 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение:

\( r^2 = 4 \)

\( r = 2 \)

Таким образом, мы получили два действительных различных корня: \( r_1 = 2 \) и \( r_2 = -2 \).

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с действительными различными корнями характеристического уравнения имеет вид:

\[ y = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x} \]

Подставляя наши корни, получаем:

\[ y = c_1e^{2x} + c_2e^{-2x} \]

Ответ: y = c₁e^2x + c₂e^-2x