1. Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см. Найдите объём конуса. 2. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 450. Объем призмы равен 108 см³. Найдите площадь полной поверхности призмы. 3. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 8√2 см. Найдите объем цилиндра.

Задание 1. Объем конуса

Дано: образующая конуса \(l = 60\) см, высота конуса \(h = 30\) см.

Найти: объем конуса \(V\).

Решение:

1. Найдем радиус основания конуса \(r\) по теореме Пифагора:

\[r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{60^2 - 30^2} = \sqrt{3600 - 900} = \sqrt{2700} = 30\sqrt{3} \text{ см}\]

2. Объем конуса вычисляется по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

3. Подставим известные значения:

\[V = \frac{1}{3} \pi (30\sqrt{3})^2 \cdot 30 = \frac{1}{3} \pi \cdot 2700 \cdot 30 = 27000\pi \text{ см}^3\]

Ответ: Объем конуса равен \(27000\pi \) см³.

Задание 2. Площадь полной поверхности призмы

Дано: прямая призма, в основании прямоугольный треугольник с катетом \(a = 6\) см и острым углом \(45^\circ\), объем призмы \(V = 108\) см³.

Найти: площадь полной поверхности призмы \(S_{\text{полн}}\,).

Решение:

1. Найдем второй катет \(b\) прямоугольного треугольника. Так как один из острых углов равен \(45^\circ\), то второй угол тоже \(45^\circ\), и треугольник равнобедренный, следовательно, \(b = a = 6\) см.
2. Площадь основания призмы (прямоугольного треугольника):

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \text{ см}^2\]

3. Найдем высоту призмы \(h\), зная объем:

\[V = S_{\text{осн}} \cdot h \Rightarrow h = \frac{V}{S_{\text{осн}}} = \frac{108}{18} = 6 \text{ см}\]

4. Найдем гипотенузу \(c\) основания:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см}\]

5. Площадь боковой поверхности призмы:

\[S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h = (a + b + c) \cdot h = (6 + 6 + 6\sqrt{2}) \cdot 6 = 36(2 + \sqrt{2}) \text{ см}^2\]

6. Площадь полной поверхности призмы:

\[S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 18 + 36(2 + \sqrt{2}) = 36 + 72 + 36\sqrt{2} = 108 + 36\sqrt{2} \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна \((108 + 36\sqrt{2})\) см².

Задание 3. Объем цилиндра

Дано: осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ квадрата \(d = 8\sqrt{2}\) см.

Найти: объем цилиндра \(V\).

Решение:

1. Найдем сторону квадрата (она же высота цилиндра \(h\) и диаметр основания \(2r\)):

\[d = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \text{ см}\]

Следовательно, высота цилиндра \(h = 8\) см, и радиус основания \(r = \frac{8}{2} = 4\) см.

2. Объем цилиндра вычисляется по формуле:

\[V = \pi r^2 h\]

3. Подставим известные значения:

\[V = \pi \cdot 4^2 \cdot 8 = \pi \cdot 16 \cdot 8 = 128\pi \text{ см}^3\]

Ответ: Объем цилиндра равен \(128\pi \) см³.