Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Пусть на числовой прямой дан отрезок B = [70; 90]. Для какого наибольшего натурального числа А логическое выражение ДЕЛ(х, А) V ((х ∈ B) → ДЕЛ(х, 16)) истинно (т.е. принимает значение 1) при любом целом положительном значении переменной х?

Решение:

Логическое выражение имеет вид \( P \lor (Q \rightarrow R) \). Оно истинно, если \( P \) истинно, или \( Q \rightarrow R \) истинно. Выражение \( Q \rightarrow R \) ложно только тогда, когда \( Q \) истинно, а \( R \) ложно. В данном случае \( P \) — это \( \text{ДЕЛ}(x, A) \), \( Q \) — это \( x \in B \), а \( R \) — это \( \text{ДЕЛ}(x, 16) \).

Отрезок \( B = [70; 90] \).

Чтобы выражение было истинно при любом целом положительном \( x \), нам нужно, чтобы оно не было ложным ни для какого \( x \). Мы ищем наибольшее \( A \), при котором выражение истинно.

Рассмотрим случай, когда \( x \in B \). Тогда \( Q \) истинно. Чтобы \( Q \rightarrow R \) было истинно, \( R \) должно быть истинно, то есть \( \text{ДЕЛ}(x, 16) \) должно быть истинно. Это означает, что \( x \) должно делиться на 16. Числа в отрезке \( [70; 90] \), которые делятся на 16, это 80 (\( 80 = 16 \times 5 \)).

Если \( x = 80 \), то \( Q \) истинно, \( R \) истинно. Тогда \( Q \rightarrow R \) истинно, и всё выражение истинно, независимо от \( P \).

Рассмотрим случай, когда \( x \notin B \). Тогда \( Q \) ложно. В этом случае \( Q \rightarrow R \) истинно, и всё выражение истинно, независимо от \( P \).

Теперь вернемся к тому, чтобы выражение было истинно для всех \( x \). Мы хотим найти наибольшее \( A \) такое, что \( \text{ДЕЛ}(x, A) \lor ( (x \in B) \rightarrow \text{ДЕЛ}(x, 16) ) \) истинно.

Рассмотрим значение \( x=80 \). \( 80 \in B \), \( \text{ДЕЛ}(80, 16) \) истинно. \( \text{ДЕЛ}(80, A) \lor \text{Истина} \) = Истина. Это не накладывает ограничений на \( A \).

Рассмотрим значение \( x \) такое, что \( x \in B \) и \( \text{ДЕЛ}(x, 16) \) ложно. Таких \( x \) в \( [70; 90] \) нет, кроме \( x=80 \). Рассмотрим \( x=79 \). \( 79 \in B \), \( \text{ДЕЛ}(79, 16) \) ложно. Тогда \( Q \rightarrow R \) ложно. Чтобы всё выражение было истинно, \( P = \text{ДЕЛ}(79, A) \) должно быть истинно. Значит, \( A \) должно делить 79.

Рассмотрим \( x=70 \). \( 70 \in B \), \( \text{ДЕЛ}(70, 16) \) ложно. Тогда \( Q \rightarrow R \) ложно. Чтобы всё выражение было истинно, \( P = \text{ДЕЛ}(70, A) \) должно быть истинно. Значит, \( A \) должно делить 70.

Рассмотрим \( x=90 \). \( 90 \in B \), \( \text{ДЕЛ}(90, 16) \) ложно. Тогда \( Q \rightarrow R \) ложно. Чтобы всё выражение было истинно, \( P = \text{ДЕЛ}(90, A) \) должно быть истинно. Значит, \( A \) должно делить 90.

Таким образом, \( A \) должно делить все числа \( x \) такие, что \( x \in [70; 90] \) и \( x \) не делится на 16. Это числа: 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90.

Нам нужно найти наибольшее \( A \) такое, что \( A \) делит все числа в множестве \( S = \{x \mid 70 \le x \le 90 \text{ и } 16 \nmid x \} \). Это эквивалентно поиску наибольшего \( A \) такого, что \( A \) делит \( \text{НОД} \) всех чисел в множестве \( S \).

Если \( A=1 \), то \( \text{ДЕЛ}(x, 1) \) истинно для всех \( x \). В этом случае выражение истинно.

Если \( A=2 \), \( A=3 \), ...

Рассмотрим числа в отрезке [70, 90], которые НЕ делятся на 16: 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90.

Нам нужно найти такое наибольшее \( A \), которое делит ВСЕ эти числа. Если \( A \) делит все эти числа, то \( A \) должно делить разности между любыми двумя такими числами.

Возьмем два соседних числа, которые не делятся на 16. Например, 70 и 71. Если \( A \) делит 70 и 71, то \( A \) должно делить \( 71 - 70 = 1 \). Следовательно, \( A = 1 \).

Проверим, если \( A=1 \).

Выражение: \( \text{ДЕЛ}(x, 1) \lor ( (x \in B) \rightarrow \text{ДЕЛ}(x, 16) ) \).

Если \( x \in B \) и \( \text{ДЕЛ}(x, 16) \) ложно (например, \( x=71 \)), то \( (x \in B) \rightarrow \text{ДЕЛ}(x, 16) \) ложно. Тогда \( \text{ДЕЛ}(71, 1) \lor \text{Ложно} \) = \( \text{Истина} \lor \text{Ложно} \) = \( \text{Истина} \).

Если \( x \in B \) и \( \text{ДЕЛ}(x, 16) \) истинно (например, \( x=80 \)), то \( (x \in B) \rightarrow \text{ДЕЛ}(x, 16) \) истинно. Тогда \( \text{ДЕЛ}(80, 1) \lor \text{Истина} \) = \( \text{Истина} \lor \text{Истина} \) = \( \text{Истина} \).

Если \( x \notin B \), то \( (x \in B) \) ложно, следовательно \( (x \in B) \rightarrow \text{ДЕЛ}(x, 16) \) истинно. Тогда \( \text{ДЕЛ}(x, 1) \lor \text{Истина} \) = \( \text{Истина} \lor \text{Истина} \) = \( \text{Истина} \).

В любом случае выражение истинно, если \( A=1 \).

Мы искали наибольшее \( A \). Если \( A > 1 \), то \( A \) не может делить все числа в отрезке [70; 90], так как между любыми двумя соседними числами разность равна 1, и только 1 делит 1.

Наибольшее натуральное число \( A \) равно 1.

Ответ: 1