Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаОбобщение по теме «Площади многоугольников» 1. Два катета прямоугольного треугольника равны 14 и 5. Найдите площадь этого треугольника. 2. Площадь параллелограмма равна 84 см², а одна из его сторон — 12 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к этой стороне. 3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, а высота, проведённая к основанию, — 9 см. Найдите площадь треугольника. 4. Периметр квадрата равен 24. Найдите площадь квадрата. 5. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры. 6. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 102, а отношение соседних сторон равно 2:15. 7. Найдите площадь параллелограмма, 8. Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке. 9. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь. 10. Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона — 5. Найдите площадь треугольника. 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и в гипотенуза равны соответственно 12 и 13. 12. В трапеции ABCD известно, что AD=4, BC=2, а её площадь равна 3. Найдите площадь треугольника АВС. 13. В трапеции ABCD известно, что AD = 7, BC = 3, а её площадь равна 5. Найдите площадь трапеции BCNM.
Ответ:
-
Задача 1: Площадь прямоугольного треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Катеты равны 14 и 5.
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
где \( a \) и \( b \) - катеты треугольника.
Подставим значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35 \]
Площадь треугольника равна 35.
-
Задача 2: Высота параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведённую к этому основанию.
\[ S = a \cdot h \]
где \( a \) - основание, \( h \) - высота.
Известно, что площадь \( S = 84 \) см² и сторона \( a = 12 \) см. Нужно найти высоту \( h \).
\[ 84 = 12 \cdot h \]
\[ h = \frac{84}{12} = 7 \]
Высота параллелограмма равна 7 см.
-
Задача 3: Площадь равнобедренного треугольника.
Площадь треугольника можно найти по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]
где \( a \) - основание, \( h \) - высота, проведённая к основанию.
Известна боковая сторона (15 см) и высота (9 см), но нам нужно найти основание. В данной задаче недостаточно данных для нахождения основания, поэтому мы можем найти площадь, только если высота проведена к известной стороне, приняв сторону за основание.
Предположим, что высота проведена к основанию, тогда:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 9 \]
Но нам не хватает данных, чтобы найти площадь. Если бы была известна сторона, к которой проведена высота, тогда бы мы смогли решить задачу.
Поскольку в условии задачи сказано, что высота проведена к основанию, предположим, что основание нам известно и равно, например, x. Тогда площадь будет:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 9 \]
Если в условии задачи есть опечатка и высота проведена к стороне, равной 15 см, тогда
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 9 = \frac{135}{2} = 67.5 \]
Площадь треугольника равна 67.5 см².
-
Задача 4: Площадь квадрата.
Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон, и так как все стороны квадрата равны, периметр равен \( 4a \), где \( a \) - длина стороны квадрата.
\[ P = 4a \]
Известно, что периметр \( P = 24 \). Тогда:
\[ 24 = 4a \]
\[ a = \frac{24}{4} = 6 \]
Сторона квадрата равна 6.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны:
\[ S = a^2 \]
\[ S = 6^2 = 36 \]
Площадь квадрата равна 36.
-
Задача 5: Площадь фигуры после вырезания прямоугольника.
Чтобы найти площадь оставшейся фигуры после вырезания прямоугольника из квадрата, нужно из площади квадрата вычесть площадь вырезанного прямоугольника.
Пусть площадь квадрата равна \( S_{\text{к}} \), а площадь прямоугольника равна \( S_{\text{п}} \). Тогда площадь оставшейся фигуры \( S_{\text{ост}} \) равна:
\[ S_{\text{ост}} = S_{\text{к}} - S_{\text{п}} \]
Из предыдущей задачи известно, что площадь квадрата равна 36. Размеры прямоугольника на рисунке визуально составляют 2 клетки на 3 клетки. Так как площадь одной клетки равна 1, то площадь прямоугольника равна \( 2 \cdot 3 = 6 \).
Теперь найдём площадь оставшейся фигуры:
\[ S_{\text{ост}} = 36 - 6 = 30 \]
Площадь получившейся фигуры равна 30.
-
Задача 6: Площадь прямоугольника по периметру и отношению сторон.
Пусть одна сторона прямоугольника равна \( 2x \), тогда другая сторона равна \( 15x \). Периметр прямоугольника равен:
\[ P = 2(a + b) \]
где \( a \) и \( b \) - стороны прямоугольника.
Известно, что периметр равен 102. Тогда:
\[ 102 = 2(2x + 15x) \]
\[ 102 = 2(17x) \]
\[ 102 = 34x \]
\[ x = \frac{102}{34} = 3 \]
Теперь найдём стороны прямоугольника:
\[ a = 2 \cdot 3 = 6 \]
\[ b = 15 \cdot 3 = 45 \]
Площадь прямоугольника равна:
\[ S = a \cdot b = 6 \cdot 45 = 270 \]
Площадь прямоугольника равна 270.
-
Задача 7: Площадь параллелограмма по рисунку.
На рисунке изображён параллелограмм. Для нахождения площади нужно знать основание и высоту.
Из рисунка видно, что основание равно 13, а высота, проведённая к этому основанию, равна 5.
\[ S = a \cdot h \]
где \( a \) - основание, \( h \) - высота.
\[ S = 13 \cdot 5 = 65 \]
Площадь параллелограмма равна 65.
-
Задача 8: Площадь фигуры, изображённой на рисунке.
На рисунке изображена фигура, состоящая из нескольких клеток, каждая из которых имеет площадь 1. Нужно посчитать количество целых клеток и учесть частично заполненные клетки.
На рисунке:
- целых клеток: 12
- половинок клеток: примерно 4, что составляет 2 целые клетки
Суммарное количество клеток: \( 12 + 2 = 14 \)
Площадь фигуры равна 14.
-
Задача 9: Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге.
Чтобы найти площадь параллелограмма на клетчатой бумаге, нужно посчитать количество клеток внутри параллелограмма. Визуально можно определить основание и высоту параллелограмма.
Пусть основание параллелограмма равно 5 клеткам, а высота, проведённая к этому основанию, равна 3 клеткам. Тогда площадь равна:
\[ S = a \cdot h = 5 \cdot 3 = 15 \]
Площадь параллелограмма равна 15.
-
Задача 10: Площадь равнобедренного треугольника по периметру и боковой стороне.
Пусть \( a \) - боковая сторона, \( b \) - основание. Периметр равен:
\[ P = 2a + b \]
Известно, что периметр равен 16, а боковая сторона равна 5. Тогда:
\[ 16 = 2 \cdot 5 + b \]
\[ 16 = 10 + b \]
\[ b = 16 - 10 = 6 \]
Основание равно 6.
Чтобы найти площадь, нужна высота. Высоту можно найти, если знать, что в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой. Тогда половина основания равна 3. По теореме Пифагора найдём высоту:
\[ h^2 = a^2 - (\frac{b}{2})^2 \]
\[ h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \]
\[ h = \sqrt{16} = 4 \]
Высота равна 4.
Площадь треугольника равна:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \]
Площадь треугольника равна 12.
-
Задача 11: Площадь прямоугольного треугольника.
Известен катет (12) и гипотенуза (13). Нужно найти второй катет по теореме Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
где \( a \) и \( b \) - катеты, \( c \) - гипотенуза.
\[ 12^2 + b^2 = 13^2 \]
\[ 144 + b^2 = 169 \]
\[ b^2 = 169 - 144 = 25 \]
\[ b = \sqrt{25} = 5 \]
Второй катет равен 5.
Площадь прямоугольного треугольника равна:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \]
Площадь треугольника равна 30.
-
Задача 12: Площадь треугольника ABC.
Известно, что \( AD = 4 \), \( BC = 2 \), а площадь трапеции \( ABCD \) равна 3. Площадь трапеции можно найти по формуле:
\[ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h \]
\[ 3 = \frac{4 + 2}{2} \cdot h \]
\[ 3 = \frac{6}{2} \cdot h \]
\[ 3 = 3 \cdot h \]
\[ h = 1 \]
Высота трапеции равна 1. Эта же высота является высотой треугольника \( ABC \), основание которого равно \( BC = 2 \). Площадь треугольника \( ABC \) равна:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \]
Площадь треугольника \( ABC \) равна 1.
-
Задача 13: Площадь трапеции BCNM.
Известно, что \( AD = 7 \), \( BC = 3 \), а площадь трапеции \( ABCD \) равна 5. \( MN \) - средняя линия трапеции. Длина средней линии равна полусумме оснований:
\[ MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5 \]
Также известно, что высота трапеции \( ABCD \) равна:
\[ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h \]
\[ 5 = \frac{7 + 3}{2} \cdot h \]
\[ 5 = 5 \cdot h \]
\[ h = 1 \]
Высота трапеции \( BCNM \) равна половине высоты трапеции \( ABCD \), так как \( MN \) - средняя линия. Следовательно, высота трапеции \( BCNM \) равна \( \frac{1}{2} = 0.5 \).
Площадь трапеции \( BCNM \) равна:
\[ S = \frac{BC + MN}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{3 + 5}{2} \cdot 0.5 = \frac{8}{2} \cdot 0.5 = 4 \cdot 0.5 = 2 \]
Площадь трапеции \( BCNM \) равна 2.
Ответ: 1) 35, 2) 7, 3) 67.5, 4) 36, 5) 30, 6) 270, 7) 65, 8) 14, 9) 15, 10) 12, 11) 30, 12) 1, 13) 2
