Объект двигается из точки 1, находящейся на высоте 8 м, проходя последовательно участки траектории 2-3-4-5 до остановки в точке 6 (рис. 1). Рассчитай высоту от горизонтального уровня Земли, на которой потенциальная энергия объекта в 6 раз больше его кинетической энергии. Сила трения скольжения действует только на участке 5-6. (Ответ округли до десятых.)

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии и определением потенциальной и кинетической энергии.

1. Начальные условия: Объект стартует с высоты \( h_1 = 8 \text{ м} \). В начале движения (в точке 1) кинетическая энергия равна нулю (объект покоится), а потенциальная энергия максимальна.
2. Конечные условия: Объект останавливается в точке 6, где его кинетическая энергия равна нулю, а высота относительно земли равна \( h_6 \).
3. Условие в искомой точке: Нам нужно найти высоту \( h_x \), на которой потенциальная энергия \( E_{p_x} \) в 6 раз больше кинетической энергии \( E_{k_x} \).
4. Закон сохранения энергии (с учётом трения): Работа силы трения \( A_{тр} \) приводит к уменьшению полной механической энергии. Работа силы трения совершается на участке 5-6. Вся энергия, потерянная из-за трения, превращается в тепло.

Запись энергии в различных точках:

• В точке 1: \( E_1 = E_{p1} = mgh_1 \) (кинетическая энергия равна 0)
• В точке 6: \( E_6 = 0 \) (объект остановился)
• В искомой точке \( x \) (на участке 5-6): \( E_x = E_{px} + E_{kx} \)

Связь между потенциальной и кинетической энергией в точке \( x \):

По условию, \( E_{px} = 6 E_{kx} \).

Полная энергия в точке \( x \) равна сумме потенциальной и кинетической энергии: \( E_x = E_{px} + E_{kx} = 6 E_{kx} + E_{kx} = 7 E_{kx} \).

Также, \( E_x = E_{px} + E_{kx} = E_{px} + \frac{E_{px}}{6} = \frac{7}{6} E_{px} \).

Связь энергии в точке 1 и точке x (пренебрегая трением на участке 1-5):

Предполагаем, что трение действует только на участке 5-6. Тогда на участке 1-5 энергия сохраняется. Следовательно, полная энергия в точке 1 равна полной энергии в точке 5 (и, соответственно, на всем участке 5-6 до точки остановки 6, если не рассматривать другие потери).

\( E_1 = E_x \) (без учёта трения на участке 1-5)

\( mgh_1 = 7 E_{kx} \) или \( mgh_1 = \frac{7}{6} E_{px} \).

Теперь подставим выражения для \( E_{px} \) и \( E_{kx} \) через высоту \( h_x \) и скорость \( v_x \) (для \( E_{kx} \) на участке 5-6):

\( E_{px} = mgh_x \)

\( E_{kx} = \frac{1}{2}mv_x^2 \)

Тогда \( mgh_1 = 7 \cdot \frac{1}{2}mv_x^2 \) или \( mgh_1 = \frac{7}{6}mgh_x \).

Сокращаем массу \( m \):

\( gh_1 = \frac{7}{6}gh_x \)

Сокращаем ускорение свободного падения \( g \):

\( h_1 = \frac{7}{6}h_x \)

Теперь выразим \( h_x \):

\( h_x = \frac{6}{7}h_1 \)

Подставляем значение \( h_1 = 8 \text{ м} \):

\( h_x = \frac{6}{7} \cdot 8 \text{ м} = \frac{48}{7} \text{ м} \approx 6.857 \text{ м} \).

Округляем до десятых:

\( h_x \approx 6.9 \text{ м} \).

Важное замечание: В условии указано, что сила трения действует только на участке 5-6. Если бы трение действовало и на участке 1-5, то полная энергия в точке 1 была бы больше, чем полная энергия в точке x (до участка 5-6). Однако, исходя из формулировки, мы предполагаем, что на участке 1-5 энергия сохраняется, а на участке 5-6 происходит диссипация энергии (работа силы трения).

При расчете мы использовали условие, что полная энергия в точке \(x\) равна энергии в точке 1, т.е. \(E_x = E_1\), что справедливо, если трение на участке 1-5 равно нулю. Если бы трение было и на участке 1-5, то \(E_1 = E_x + A_{тр(1-5)}\).

Однако, учитывая, что задача требует найти высоту, на которой соотношение потенциальной и кинетической энергии равно 6, и трение указано только на участке 5-6, мы можем рассматривать участок 5-6 как место, где происходит потеря энергии, приводящая к остановке. Тем не менее, соотношение \(E_{px} = 6 E_{kx}\) должно выполняться на некотором участке, который может быть и до участка 5-6, если там нет трения. Если предположить, что соотношение \( E_{px} = 6 E_{kx} \) относится к любой точке на траектории, где это условие выполняется, и трение только приводит к конечной остановке, то наше решение верно. Если же это условие должно выполняться на участке 5-6, то нужно было бы учитывать работу трения. Но обычно такие задачи решаются через закон сохранения энергии, если не сказано иное.

Давайте пересмотрим, если трение действует только на участке 5-6, то на участке 1-5 энергия сохраняется. Таким образом, полная энергия в точке 1 равна полной энергии в любой точке участка 1-5. Соотношение \( E_{p} = 6 E_{k} \) может выполняться в любой точке траектории, где нет трения, или на участке, где трение присутствует. Если это соотношение относится к точке на участке 5-6, где скорость еще не равна нулю, то нам нужно больше информации о работе силы трения.

Предположим, что условие \( E_p = 6 E_k \) относится к точке на участке 1-5 (где трения нет), или мы ищем точку, где это соотношение выполняется, и затем объект продолжает движение до точки 6, где останавливается.

Если мы ищем точку, где \( E_p = 6 E_k \) на участке, где трения нет, то:

\( E_1 = E_p + E_k \)

\( mgh_1 = mgh_x + \frac{1}{2}mv_x^2 \)

\( mgh_1 = 6mgh_x + \frac{1}{2}mv_x^2 \)

Из \( E_p = 6 E_k \) следует \( mgh_x = 6 \cdot \frac{1}{2}mv_x^2 \), то есть \( mgh_x = 3mv_x^2 \). Отсюда \( v_x^2 = \frac{gh_x}{3} \).

Подставляем \( v_x^2 \) в уравнение сохранения энергии:

\( mgh_1 = 6mgh_x + \frac{1}{2}m \left( \frac{gh_x}{3} \right) \)

\( mgh_1 = 6mgh_x + \frac{mgh_x}{6} \)

Сокращаем \( mg \):

\( h_1 = 6h_x + \frac{h_x}{6} = \left( 6 + \frac{1}{6} \right) h_x = \frac{37}{6} h_x \)

\( h_x = \frac{6}{37} h_1 = \frac{6}{37} \cdot 8 \text{ м} = \frac{48}{37} \text{ м} \approx 1.3 \text{ м} \).

Рассмотрим другой вариант интерпретации:

Условие \( E_p = 6 E_k \) выполняется в какой-то точке \( x \) на траектории. Трение действует только на участке 5-6. Это означает, что до участка 5-6 энергия сохраняется. После начала участка 5-6, энергия будет уменьшаться из-за трения.

Если точка \( x \) находится ДО участка 5-6, то \( E_1 = E_x \).

\( mgh_1 = E_{px} + E_{kx} \)

\( mgh_1 = mgh_x + \frac{1}{2}mv_x^2 \)

При условии \( E_{px} = 6 E_{kx} \), мы имеем \( mgh_x = 6 E_{kx} \) и \( E_{kx} = \frac{1}{6} mgh_x \).

\( mgh_1 = mgh_x + \frac{1}{6} mgh_x = \frac{7}{6} mgh_x \)

\( h_1 = \frac{7}{6} h_x \)

\( h_x = \frac{6}{7} h_1 = \frac{6}{7} \cdot 8 \text{ м} = \frac{48}{7} \text{ м} \approx 6.857 \text{ м} \). Округляем до десятых: \( 6.9 \text{ м} \).

Если точка \( x \) находится НА участке 5-6, где действует трение:

Тогда \( E_1 = E_x + A_{тр} \), где \( A_{тр} \) - работа силы трения от точки 1 до точки x.

Но в условии сказано: "Сила трения скольжения действует только на участке 5-6". Это значит, что до участка 5-6 трения нет, и энергия сохраняется. Следовательно, точка \( x \) находится на участке, где трения нет, или мы можем рассматривать ее как точку, где энергия, полученная от точки 1, еще не потеряна из-за трения на участке 5-6.

Наиболее логичное толкование: ищем такую высоту \( h_x \), на которой \( E_p(h_x) = 6 E_k(h_x) \), и это происходит на участке, где энергия, полученная из точки 1, еще не растрачена на преодоление трения до точки 5. То есть, рассматриваем участок 1-5 как участок сохранения энергии.

\( E_{p1} = E_{px} + E_{kx} \) (где \( E_{p1} \) - начальная потенциальная энергия, \( E_{px} \) и \( E_{kx} \) - потенциальная и кинетическая энергия в точке \(x\) на высоте \(h_x\))

\( mgh_1 = mgh_x + \frac{1}{2}mv_x^2 \)

По условию \( mgh_x = 6 \cdot \frac{1}{2}mv_x^2 \). Отсюда \( \frac{1}{2}mv_x^2 = \frac{1}{6}mgh_x \). Подставляем в предыдущее уравнение:

\( mgh_1 = mgh_x + \frac{1}{6}mgh_x \)

\( mgh_1 = \frac{7}{6}mgh_x \)

\( h_1 = \frac{7}{6}h_x \)

\( h_x = \frac{6}{7}h_1 = \frac{6}{7} \cdot 8 \text{ м} = \frac{48}{7} \text{ м} \approx 6.857 \text{ м} \).

Округляем до десятых:

\( h_x \approx 6.9 \text{ м} \).

Ответ: 6.9 м.