Контрольные задания > O — точка пересечения медиан треугольника ABC. SA_ABD = 24. Найдите S_ADOC.
Вопрос:

O — точка пересечения медиан треугольника ABC. SA_ABD = 24. Найдите S_ADOC.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

В задаче сказано, что точка O — это точка пересечения медиан треугольника ABC. Нам дана площадь треугольника ABD, которая равна 24. Необходимо найти площадь треугольника ADOC.

Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих по площади треугольников. Однако, в данном случае, O является точкой пересечения медиан, но BD не обязательно является медианой.

Свойство медиан: Медиана делит треугольник на два равновеликих по площади треугольника. Если BD — медиана, то S_ABD = S_CBD. Если AO — медиана, то S_ABO = S_ACO.

Свойство точки пересечения медиан: Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Также, медианы делят треугольник на 6 равных по площади частей.

В нашем случае, AD и DC обозначены как равные отрезки (по одной засечке на них), что означает, что BD является медианой треугольника ABC.

  1. Так как BD — медиана, она делит треугольник ABC на два равновеликих по площади треугольника: S_ABD = S_CBD. Следовательно, S_CBD = 24.
  2. Площадь всего треугольника ABC равна сумме площадей S_ABD и S_CBD: S_ABC = S_ABD + S_CBD = 24 + 24 = 48.
  3. O — точка пересечения медиан. Медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей.
  4. В треугольнике ABC три медианы: BD, AC (точнее, из вершины B к AC, но это не показано, так что будем исходить из того, что O — точка пересечения медиан, то есть AD=DC, BO=OK, CO=OL, где K и L — середины соответствующих сторон).
  5. Рассмотрим треугольник ABD. Его площадь равна 24. Точка O лежит на медиане BD. AO и CO не являются медианами в общем случае.
  6. Однако, если BD — медиана, то AD = DC. Если CO — медиана, то AO = OB.
  7. Рассмотрим треугольник AOC. Его площадь равна 1/3 площади всего треугольника ABC, то есть S_AOC = 48 / 3 = 16.
  8. Теперь рассмотрим треугольник ADC. Его площадь равна половине площади ABC, то есть S_ADC = 48 / 2 = 24.
  9. Треугольник ADC состоит из треугольников ADO и CDO.
  10. Так как O — точка пересечения медиан, то CO — медиана в треугольнике CBD (если CD - сторона, а BO - медиана).
  11. Используем свойство, что медиана делит треугольник на два равновеликих по площади. Отрезок DO является частью медианы BD.
  12. Рассмотрим треугольник ABC. Медианы BD, AE (где E — середина BC) и CF (где F — середина AB) пересекаются в точке O.
  13. Площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы делят ABC (AOF, FOB, BOD, DOC, COE, EOA) равна 1/6 * S_ABC.
  14. То есть, S_AOF = S_FOB = S_BOD = S_DOC = S_COE = S_EOA = 48 / 6 = 8.
  15. В нашем случае, нам нужно найти площадь S_ADOC. Это площадь треугольника ADC, которая равна 24.
  16. Рассмотрим треугольник ABC. BD — медиана, так как AD = DC. AO — медиана, так как O — середина BD (по свойству медиан 2:1). CO — часть медианы, проведенной из C.
  17. S_ABD = 24.
  18. S_CBD = 24.
  19. S_ABC = 48.
  20. Треугольник ADC имеет площадь 24.
  21. Точка O лежит на медиане BD. Отрезок CO соединяет вершину C с точкой O на стороне BD.
  22. Если CO является медианой к стороне BD в треугольнике CBD, то S_CDO = S_CBO / 2.
  23. Однако, O — точка пересечения медиан. Это значит, что AO, BO, CO (до середины сторон) являются медианами.
  24. S_ABD = S_ABC / 2 = 24.
  25. S_CBD = S_ABC / 2 = 24.
  26. Площадь треугольника ADC равна S_ABC / 2 = 24.
  27. Треугольник ADC делится отрезком DO на треугольники ADO и CDO.
  28. Так как O — точка пересечения медиан, то DO = 1/3 * BD.
  29. В треугольнике ADC, AO не является медианой.
  30. Рассмотрим треугольник CBD. CO — медиана к стороне BD (так как O — середина BD, поскольку BO:OD = 2:1, то O не середина BD).
  31. O — точка пересечения медиан. BD — медиана. AO — часть медианы. CO — часть медианы.
  32. Площадь треугольника ADO равна 1/6 * S_ABC = 48 / 6 = 8.
  33. Площадь треугольника CDO равна 1/6 * S_ABC = 48 / 6 = 8.
  34. Площадь треугольника BOD равна 1/6 * S_ABC = 48 / 6 = 8.
  35. Площадь треугольника AOB равна 1/6 * S_ABC = 48 / 6 = 8.
  36. Площадь треугольника AOC равна 2 * (1/6 * S_ABC) = 2 * 8 = 16.
  37. Площадь треугольника BOC равна 2 * (1/6 * S_ABC) = 2 * 8 = 16.
  38. Площадь треугольника AOD равна 1/6 * S_ABC = 8.
  39. Площадь треугольника COD равна 1/6 * S_ABC = 8.
  40. Таким образом, S_ADOC = S_ADO + S_CDO = 8 + 8 = 16.
  41. Проверка: S_ABD = S_ABO + S_ADO = 8 + 8 = 16. Это не равно 24.
  42. Значит, BD не медиана. Но в условии отмечено, что AD = DC, следовательно BD — медиана.
  43. В треугольнике ABD, AO — отрезок, соединяющий вершину A с точкой O на стороне BD.
  44. O — точка пересечения медиан. BD — медиана. AE — медиана (E — середина BC). CF — медиана (F — середина AB).
  45. S_ABD = 24.
  46. Так как BD — медиана, то S_ABD = S_CBD = 24.
  47. S_ABC = 48.
  48. Площадь треугольника ADC равна S_ABC / 2 = 24.
  49. Треугольник ADC состоит из треугольников ADO и CDO.
  50. O — точка пересечения медиан. Отрезки AO, BO, CO соединяют вершины с точкой O.
  51. Площадь треугольника ADC равна 24.
  52. Отрезок DO делит треугольник ADC на два треугольника: ADO и CDO.
  53. Точка O делит медиану BD в отношении 2:1, то есть BO:OD = 2:1.
  54. Рассмотрим треугольник ABD. Медиана AE (если E — середина BC) проходит через O.
  55. Площадь треугольника ADO относится к площади треугольника ABD как OD относится к BD.
  56. OD = 1/3 BD.
  57. Следовательно, S_ADO = 1/3 * S_ABD = 1/3 * 24 = 8.
  58. Площадь треугольника CDO. Рассмотрим треугольник CBD. Его площадь равна 24. CO — отрезок, соединяющий вершину C с точкой O на стороне BD.
  59. CDO и CBO имеют одну высоту из C. Отношение их площадей равно отношению оснований: S_CDO / S_CBO = OD / BD = 1/3.
  60. S_CBD = S_CBO + S_CDO = 24.
  61. S_CBO = 2 * S_CDO.
  62. 2 * S_CDO + S_CDO = 24.
  63. 3 * S_CDO = 24.
  64. S_CDO = 24 / 3 = 8.
  65. Площадь S_ADOC = S_ADO + S_CDO = 8 + 8 = 16.

Ответ: 16

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю