N -30 x 33 37 60° B A x 16 D 34 S SN = x 38 A M K 12 9 35 A A N 39 D 00 8 D K 0 18 x

Математика, геометрия, 7-9 класс.

Давай по порядку разберем задачи с картинки.

Задача 33

Хорда АВ стягивает дугу в 60 градусов. Значит, центральный угол АОВ равен 60 градусам. Рассмотрим треугольник АОD. Он прямоугольный, так как OD - перпендикуляр к АВ. АО = 16, так как это радиус. AD = AB/2, так как OD - высота и медиана (в равнобедренном треугольнике АОВ высота является и медианой). Так как угол АОВ = 60, то треугольник АОВ - равносторонний, и АВ = АО = 16. Тогда AD = 16/2 = 8. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. Катет AD = 8, гипотенуза АО = 16. Синус угла A = AD/AO = 8/16 = 1/2. Значит, угол А = 30 градусов. Тогда х = 30 градусов.

Ответ: х = 30 градусов.

Задача 34

SN = x, OK = 9, OM = 12. Так как SN - диаметр, то угол SKN прямой. Тогда треугольник SKN - прямоугольный. SO = ON = x/2. OE - перпендикуляр к KN, значит, OE - высота и медиана (в равнобедренном треугольнике SKN высота является и медианой). Тогда KE = EN = KN/2. Треугольник OKE - прямоугольный. По теореме Пифагора, OK^2 = OE^2 + KE^2. KE = KN/2. Так как SN - диаметр, то угол SMN прямой. Тогда треугольник SMN - прямоугольный. По теореме Пифагора, SM^2 + MN^2 = SN^2. SM = 12. Рассмотрим треугольники SKN и SMN. Угол SKN = угол SMN = 90 градусов. SN - общая сторона. Тогда эти треугольники вписаны в одну окружность, и SN - диаметр. Так как SN - диаметр, то угол SKN прямой. Тогда треугольник SKN - прямоугольный. SO = ON = x/2. OE - перпендикуляр к KN, значит, OE - высота и медиана (в равнобедренном треугольнике SKN высота является и медианой). Тогда KE = EN = KN/2. OK^2 = OE^2 + KE^2. KE = KN/2. OE = OK - x/2. OK = 9. KE = KN/2. 9^2 = (x/2)^2 + (KN/2)^2. 81 = (x^2)/4 + (KN^2)/4. 324 = x^2 + KN^2. Рассмотрим треугольник SMN. SM^2 + MN^2 = SN^2. SM = 12. SN = x. MN = MK - NK. 12^2 + MN^2 = x^2. 144 + MN^2 = x^2. MN^2 = x^2 - 144. Рассмотрим треугольник KMN. KM^2 = KN^2 + MN^2. KM = 12. KN^2 + MN^2 = 144. KN^2 + x^2 - 144 = 144. KN^2 = 288 - x^2. 324 = x^2 + 288 - x^2. 324 = 288. Противоречие. Где-то ошибка.

Применим теорему о секущей и касательной: если из точки вне окружности проведены секущая и касательная, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. В нашем случае OS * ON = OK * OE. OS = ON = x, OK = 9, OE = 12. x^2 = 9 * 12. x^2 = 108. x = sqrt(108). x = 6 * sqrt(3).

Ответ: x = 6 * sqrt(3).

Задача 35

АО = 8, DB = 18. Надо найти x. Тут тоже работает теорема о секущей и касательной: если из точки вне окружности проведены секущая и касательная, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. В нашем случае AD * AB = AO^2. AD = AO + OD = 8 + OD. AB = AD + DB = 8 + OD + 18 = 26 + OD. OD = AO = 8. AB = 26 + 8 = 34. AD = 8 + 8 = 16. 16 * 34 = x^2. x^2 = 544. x = sqrt(544) = 4 * sqrt(34).

Ответ: x = 4 * sqrt(34).