No 4 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции: f(x) = 2x² -8x³ +5

Ответ: Решение представлено ниже.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции.
\[ f(x) = 2x^4 - 8x^3 + 5 \] \[ f'(x) = 8x^3 - 24x^2 \]
2. Шаг 2: Находим критические точки (нули производной).
\[ 8x^3 - 24x^2 = 0 \] \[ 8x^2(x - 3) = 0 \] Критические точки: \[ x = 0, x = 3 \]
3. Шаг 3: Определяем знаки производной на интервалах.
• Интервал \((-\infty, 0)\): Выберем \[ x = -1 \]. Тогда \[ f'(-1) = 8(-1)^3 - 24(-1)^2 = -8 - 24 = -32 < 0 \]. Функция убывает.
• Интервал \((0, 3)\): Выберем \[ x = 1 \]. Тогда \[ f'(1) = 8(1)^3 - 24(1)^2 = 8 - 24 = -16 < 0 \]. Функция убывает.
• Интервал \((3, +\infty)\): Выберем \[ x = 4 \]. Тогда \[ f'(4) = 8(4)^3 - 24(4)^2 = 8(64) - 24(16) = 512 - 384 = 128 > 0 \]. Функция возрастает.
4. Шаг 4: Определяем промежутки монотонности.
• Функция убывает на интервалах \((-\infty, 0)\) и \((0, 3)\).
• Функция возрастает на интервале \((3, +\infty)\).
5. Шаг 5: Определяем точки экстремума.
• В точке \[ x = 0 \] производная не меняет знак, поэтому это не точка экстремума.
• В точке \[ x = 3 \] производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.
6. Шаг 6: Вычисляем значение функции в точке минимума.
\[ f(3) = 2(3)^4 - 8(3)^3 + 5 = 2(81) - 8(27) + 5 = 162 - 216 + 5 = -49 \]

Ответ:

• Промежутки убывания: \[(-\infty, 0)\] и \[ (0, 3)\]
• Промежуток возрастания: \[(3, +\infty)\]
• Точка минимума: \[ x = 3 \]
• Значение функции в точке минимума: \[ f(3) = -49 \]

Ответ: Промежутки убывания: \[(-\infty, 0)\] и \[ (0, 3)\]; Промежуток возрастания: \[(3, +\infty)\]; Точка минимума: \[ x = 3 \]; Значение функции в точке минимума: \[ f(3) = -49 \].