No 9

Анализ изображения:

• На изображении представлена геометрическая задача, связанная с окружностью и касательными.
• Даны точки A, B, C и центр окружности O.
• Известен угол \( \angle BAC = 38^{\circ} \).
• Точки B и C лежат на окружности.
• Линии AB и AC являются касательными к окружности, проведенными из точки A.
• Точка O является центром окружности.
• Требуется найти значение неизвестного угла, обозначенного вопросительным знаком.

Решение:

1. Свойства касательных: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Следовательно, AB = AC.
2. Равнобедренный треугольник: Треугольник ABC является равнобедренным, так как AB = AC.
3. Углы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, \( \angle ABC = \angle ACB \).
4. Сумма углов треугольника: Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике ABC: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).
5. Нахождение углов при основании: Подставляем известные значения: \( 38^{\circ} + \angle ABC + \angle ABC = 180^{\circ} \) => \( 2 imes \angle ABC = 180^{\circ} - 38^{\circ} \) => \( 2 imes \angle ABC = 142^{\circ} \) => \( \angle ABC = \angle ACB = 71^{\circ} \).
6. Свойство радиуса и касательной: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle ABO = 90^{\circ} \) и \( \angle ACO = 90^{\circ} \).
7. Треугольник ABO: В прямоугольном треугольнике ABO, \( \angle BAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} imes 38^{\circ} = 19^{\circ} \).
8. Нахождение угла AOB: Сумма углов в треугольнике ABO равна 180°. \( \angle BAO + \angle ABO + \angle AOB = 180^{\circ} \) => \( 19^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ} \) => \( \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 19^{\circ} = 71^{\circ} \).
9. Центральный угол: Угол \( \angle BOC \) является центральным углом, опирающимся на дугу BC.
10. Центральный и вписанный углы: Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, равен удвоенному вписанному углу. Однако, в данном случае мы можем найти \( \angle BOC \) через четырехугольник ABOC.
11. Сумма углов четырехугольника: Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. В четырехугольнике ABOC: \( \angle BAC + \angle ABO + \angle BOC + \angle ACO = 360^{\circ} \) => \( 38^{\circ} + 90^{\circ} + \angle BOC + 90^{\circ} = 360^{\circ} \) => \( \angle BOC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ} \).
12. Искомый угол: Угол, обозначенный вопросительным знаком, является углом \( \angle BOC \).

Ответ: 142°