N M K Задание 3 Дано: ММ = 10 мм; < MNK = 60°. Найти: Ο NK мм.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем угол MON.

  Так как угол MON - центральный, а угол MNK - вписанный и опирается на ту же дугу, то угол MON в два раза больше угла MNK.

  \[\angle MON = 2 \cdot \angle MNK = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\]

• Шаг 2: Рассмотрим треугольник MON.

  Треугольник MON - равнобедренный, так как MO = ON (радиусы окружности).

  Следовательно, углы при основании MN равны.

  \[\angle OMN = \angle ONM = \frac{180^\circ - \angle MON}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\]

• Шаг 3: Используем теорему синусов для треугольника MON.

  \[\frac{MN}{\sin \angle MON} = \frac{ON}{\sin \angle OMN}\]

  \[\frac{10}{\sin 120^\circ} = \frac{ON}{\sin 30^\circ}\]

  \[ON = \frac{10 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{10 \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\]

• Шаг 4: Рассмотрим треугольник ONK.

  Треугольник ONK - равнобедренный, так как ON = OK (радиусы окружности).

  Угол ONK = углу MNK - углу MNO = 60° - 30° = 30°

  Следовательно, угол OKN = углу ONK = 30°.

  Угол NOK = 180° - 30° - 30° = 120°.

• Шаг 5: Используем теорему синусов для треугольника ONK.

  \[\frac{NK}{\sin \angle NOK} = \frac{ON}{\sin \angle OKN}\]

  \[\frac{NK}{\sin 120^\circ} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{\sin 30^\circ}\]

  \[NK = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot \sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0.5} = \frac{\frac{10 \cdot 3}{3}}{0.5} = \frac{10}{0.5} = 20\]

Ответ: 20