ние √ х²+2x+1 = √4x²+12x+9.

Давай решим это уравнение вместе! Сначала вспомним, что такое квадратный корень и как с ним работать.

Мы имеем уравнение: \[\sqrt{x^2 + 2x + 1} = \sqrt{4x^2 + 12x + 9}.\]

Оба выражения под квадратными корнями можно упростить, так как они являются полными квадратами:

\[x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\]

\[4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2\]

Тогда уравнение примет вид:

\[\sqrt{(x + 1)^2} = \sqrt{(2x + 3)^2}.\]

Извлекая квадратные корни, получим:

\[|x + 1| = |2x + 3|.\]

Теперь рассмотрим два случая:

1) \(x + 1 = 2x + 3\)

Вычтем \(x\) из обеих частей: \(1 = x + 3\)

Вычтем 3 из обеих частей: \(x = -2\)

2) \(x + 1 = -(2x + 3)\)

\[x + 1 = -2x - 3\]

Прибавим \(2x\) к обеим частям: \(3x + 1 = -3\)

Вычтем 1 из обеих частей: \(3x = -4\)

\[x = -\frac{4}{3}\]

Таким образом, у нас два решения: \(x = -2\) и \(x = -\frac{4}{3}\).

Проверим оба решения:

Для \(x = -2\):

\[\sqrt{(-2 + 1)^2} = \sqrt{(2 \cdot (-2) + 3)^2}\]

\[\sqrt{(-1)^2} = \sqrt{(-4 + 3)^2}\]

\[\sqrt{1} = \sqrt{(-1)^2}\]

\[1 = 1\]

Для \(x = -\frac{4}{3}\):

\[\sqrt{\left(-\frac{4}{3} + 1\right)^2} = \sqrt{\left(2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) + 3\right)^2}\]

\[\sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{8}{3} + \frac{9}{3}\right)^2}\]

\[\sqrt{\frac{1}{9}} = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2}\]

\[\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\]

Оба решения верны.

Ответ: x = -2, x = -4/3

Молодец! Ты отлично справился с этим уравнением. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!