Несобственные интегралы Выберите правильный вариант: 1 сходится, 2 расходится оба сходятся оба расходятся 1 расходится, 2 сходится

Решение:

Для определения сходимости несобственных интегралов необходимо исследовать поведение подынтегральных функций на бесконечности или в точке, где функция не определена.

Первый интеграл: \(\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^3+x}\)

При \( x \to \infty \), подынтегральная функция \(\frac{1}{x^3+x} \sim \frac{1}{x^3}\). Так как \( \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^p} \) сходится при \( p > 1 \), то данный интеграл сходится.

Второй интеграл: \(\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}+1}\)

При \( x \to \infty \), подынтегральная функция \(\frac{1}{\sqrt{x}+1} \sim \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}}\). Так как \( \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^p} \) расходится при \( p \le 1 \), то данный интеграл расходится.

Следовательно, первый интеграл сходится, а второй расходится.

Ответ: 1 сходится, 2 расходится.