неравенство log7 ((4−x)(x²+11))≥log,(x²-9x+20)+log(7-x).

Привет! Давай разберемся с этим логарифмическим неравенством. Это задание из раздела алгебры, и оно подойдет для учеников старших классов.

Исходное неравенство:

• \[ \log_7((4-x)(x^2+11)) \ge \log_7(x^2-9x+20) + \log_7(7-x) \]

Шаг 1: ОДЗ (Область допустимых значений)

Чтобы логарифмы были определены, выражения под ними должны быть строго положительными:

1. \[ (4-x)(x^2+11) > 0 \]
• Так как x^2+11 всегда больше нуля (потому что x^2 ≥ 0 , а 11 — положительное число), то для выполнения этого условия нам нужно, чтобы 4-x > 0 , что означает x < 4 .
2. \[ x^2-9x+20 > 0 \]
• Найдем корни квадратного уравнения x^2-9x+20=0 . По теореме Виета: x_1 + x_2 = 9 , x_1 · x_2 = 20 . Корни: x_1 = 4 , x_2 = 5 .
• Парабола y = x^2-9x+20 направлена ветвями вверх, поэтому x^2-9x+20 > 0 при x < 4 или x > 5 .
3. \[ 7-x > 0 \]
• Это условие означает x < 7 .

Теперь объединим все условия ОДЗ:

• x < 4
• x < 4 или x > 5
• x < 7

Объединяя эти условия, получаем: x < 4 .

Шаг 2: Преобразуем неравенство

Сначала сложим логарифмы в правой части:

• \[ \log_7(x^2-9x+20) + \log_7(7-x) = \log_7((x^2-9x+20)(7-x)) \]

Теперь наше неравенство выглядит так:

• \[ \log_7((4-x)(x^2+11)) \ge \log_7((x^2-9x+20)(7-x)) \]

Так как основание логарифма (7) больше 1, мы можем опустить логарифмы, сохранив знак неравенства:

• \[ (4-x)(x^2+11) \ge (x^2-9x+20)(7-x) \]

Шаг 3: Раскрываем скобки и решаем полученное неравенство

Левая часть:

• \[ (4-x)(x^2+11) = 4x^2 + 44 - x^3 - 11x = -x^3 + 4x^2 - 11x + 44 \]

Правая часть:

• \[ (x^2-9x+20)(7-x) = 7x^2 - x^3 - 63x + 9x^2 + 140 - 20x = -x^3 + (7+9)x^2 + (-63-20)x + 140 \]
• \[ = -x^3 + 16x^2 - 83x + 140 \]

Теперь приравниваем левую и правую части с учетом знака ≥ :

• \[ -x^3 + 4x^2 - 11x + 44 \ge -x^3 + 16x^2 - 83x + 140 \]

Сокращаем -x^3 с обеих сторон:

• \[ 4x^2 - 11x + 44 \ge 16x^2 - 83x + 140 \]

Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство:

• \[ 0 \ge 16x^2 - 4x^2 - 83x + 11x + 140 - 44 \]
• \[ 0 \ge 12x^2 - 72x + 96 \]

Разделим все на 12 (так как 12 > 0, знак неравенства не меняется):

• \[ 0 \ge x^2 - 6x + 8 \]

Или, что то же самое:

• \[ x^2 - 6x + 8 \le 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения x^2 - 6x + 8 = 0 . По теореме Виета: x_1 + x_2 = 6 , x_1 · x_2 = 8 . Корни: x_1 = 2 , x_2 = 4 .

Парабола y = x^2 - 6x + 8 направлена ветвями вверх. Неравенство x^2 - 6x + 8 \le 0 выполняется между корнями, то есть при 2 \le x \le 4 .

Шаг 4: Совмещаем решение с ОДЗ

Мы получили, что 2 \le x \le 4 . Из ОДЗ мы знаем, что x < 4 .

Совмещая эти два условия, мы получаем интервал 2 \le x < 4 .

Ответ:

Ответ: [2; 4)