некий {x+2y=5, xy=2}

Система уравнений

У нас есть система из двух уравнений:

\( x + 2y = 5 \)

\( xy = 2 \)

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую.

Из второго уравнения выразим \( x \):

\[ x = \frac{2}{y} \]

Шаг 2: Подставим выражение в первое уравнение.

Заменим \( x \) в первом уравнении на \( \frac{2}{y} \):

\[ \frac{2}{y} + 2y = 5 \]

Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно \( y \).

Умножим обе части уравнения на \( y \), чтобы избавиться от дроби (при условии, что \( y \neq 0 \). Если \( y = 0 \), то \( xy = 0 \), что противоречит второму уравнению, значит \( y \neq 0 \) ).

\[ 2 + 2y^2 = 5y \]

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 2y^2 - 5y + 2 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \), где \( a=2, b=-5, c=2 \).

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Шаг 5: Найдем соответствующие значения \( x \) для каждого \( y \).

Используем выражение \( x = \frac{2}{y} \).

Для \( y_1 = 2 \):

\[ x_1 = \frac{2}{2} = 1 \]

Для \( y_2 = \frac{1}{2} \):

\[ x_2 = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4 \]

Шаг 6: Проверим полученные решения.

Для пары \( (1, 2) \):

\( 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5 \) (Верно)

\( 1 \cdot 2 = 2 \) (Верно)

Для пары \( (4, \frac{1}{2}) \):

\( 4 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 + 1 = 5 \) (Верно)

\( 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \) (Верно)

Ответ: решения системы уравнений: \( (1; 2) \) и \( (4; \frac{1}{2}) \).