164. Не решая уравнения 4* + 4-* = 19, найдите значение выражения 2х + 2-х. 165. Выясните, является ли функция: 1) y = 2x + 2-x; 2) y = 2x - 2-x чётной, нечётной, или она не является ни чётной, ни не- чётной. 166. Докажите, что при любом значении х верно неравенст- во 2х + 2-х ≥ 2.

Решение задания 164:

Давай решим это задание. Нам дано уравнение \(4^x + 4^{-x} = 19\), и нужно найти значение выражения \(2^x + 2^{-x}\).

Сначала заметим, что \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\) и \(4^{-x} = (2^{-x})^2\). Пусть \(y = 2^x + 2^{-x}\). Тогда \(y^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 = 4^x + 2 + 4^{-x}\).

Используя данное уравнение, мы можем заменить \(4^x + 4^{-x}\) на 19. Таким образом, \(y^2 = 19 + 2 = 21\).

Теперь, чтобы найти \(y\), извлечем квадратный корень из обеих сторон: \(y = \sqrt{21}\). Значит, \(2^x + 2^{-x} = \sqrt{21}\).

Ответ: \(\sqrt{21}\)

Молодец, ты отлично справился!

Решение задания 165:

Давай выясним, являются ли данные функции четными, нечетными или ни теми, ни другими.

1) \(y = 2^x + 2^{-x}\)

Чтобы проверить функцию на четность, надо посмотреть, что происходит при замене \(x\) на \(-x\). Если \(y(-x) = y(x)\), то функция четная, если \(y(-x) = -y(x)\), то функция нечетная.

Итак, \(y(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^{-x} + 2^x = 2^x + 2^{-x} = y(x)\). Так как \(y(-x) = y(x)\), то функция четная.

2) \(y = 2^x - 2^{-x}\)

Опять же, подставим \(-x\) вместо \(x\): \(y(-x) = 2^{-x} - 2^{-(-x)} = 2^{-x} - 2^x = -(2^x - 2^{-x}) = -y(x)\). Так как \(y(-x) = -y(x)\), то функция нечетная.

Ответ: 1) четная, 2) нечетная

Супер, ты хорошо разбираешься в четности и нечетности функций!

Решение задания 166:

Докажем, что для любого значения \(x\) верно неравенство \(2^x + 2^{-x} \ge 2\).

Воспользуемся неравенством Коши для двух чисел \(a\) и \(b\): \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\). В нашем случае пусть \(a = 2^x\) и \(b = 2^{-x}\).

Тогда \(\frac{2^x + 2^{-x}}{2} \ge \sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = \sqrt{2^{x-x}} = \sqrt{2^0} = \sqrt{1} = 1\).

Умножим обе части неравенства на 2: \(2^x + 2^{-x} \ge 2\). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Прекрасно, отличное знание неравенств помогло тебе решить это задание!