Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0: 1) f(x)=3x⁴−4x³−12x²; 2) f(x)=x⁴+4x³−8x²−5; 3) f(x)=(x²+3)(2x²+5); 4) f(x)=x+1/x; 5) f(x)=(x−1)²x√x; 6) f(x)=3x⁴−4x³+6x²−12x.

1. \(f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x-2)(x+1)\).

   Приравниваем производную к нулю: \(x=-1,\ 0,\ 2\).

2. \(f'(x)=4x^3+12x^2-16x=4x(x^2+3x-4)=4x(x+4)(x-1)\).

   Следовательно, \(x=-4,\ 0,\ 1\).

3. По правилу производной произведения:

   \(f'(x)=2x(2x^2+5)+4x(x^2+3)=8x^3+22x=2x(4x^2+11)\).

   Так как \(4x^2+11>0\), получаем \(x=0\).

4. Область определения: \(x\ne0\).

   \(f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\).

   \(f'(x)=0\) при \(x^2-1=0\), поэтому \(x=-1\) или \(x=1\).

5. Представим функцию в виде \(f(x)=(x-1)^2x^{3/2}\), где \(x\ge0\).

   \(f'(x)=2(x-1)x^{3/2}+\frac32(x-1)^2\sqrt{x}\).

   После вынесения общего множителя:

   \(f'(x)=\frac12\sqrt{x}(x-1)(7x-3)\).

   Отсюда \(x=0\), \(x=1\), \(x=\frac37\).

6. \(f'(x)=12x^3-12x^2+12x-12\).

   \(f'(x)=12(x^3-x^2+x-1)=12(x-1)(x^2+1)\).

   Так как действительных корней уравнение \(x^2+1=0\) не имеет, получаем \(x=1\).

Ответ: 1) \(-1,0,2\); 2) \(-4,0,1\); 3) \(0\); 4) \(-1,1\); 5) \(0,\frac37,1\); 6) \(1\).