1. НАЙТИ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 1) 0.5\(\sqrt{1600}\) - \(\frac{1}{3}\)\(\sqrt{36}\); 2) \(\sqrt{0,25 \cdot 81}\); 3) \(\sqrt{6^2 \cdot 2^8}\); 4) \(\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} - \frac{\sqrt{63}}{\sqrt{7}}\). 2. УПРОСТИТЬ ВЫРАЖЕНИЕ 1) 7\(\sqrt{2}\) - 3\(\sqrt{8}\) + 4\(\sqrt{18}\); 2) (\(\sqrt{90}\) - \(\sqrt{40}\)) \(\cdot \sqrt{10}\); 3) (3\(\sqrt{5}\) - 2)\(^2\); 4) (2\(\sqrt{3}\) + 3\(\sqrt{5}\))(2\(\sqrt{3}\) - 3\(\sqrt{5}\)). 3. СРАВНИТЬ ЧИСЛА 1) 7\(\sqrt{2}\) и 6\(\sqrt{3}\); 2) 6\(\sqrt{\frac{2}{3}}\) и 4\(\sqrt{\frac{3}{2}}\). 4. СОКРАТИТЬ ДРОБЬ 1) \(\frac{\sqrt{a} + 7}{a - 49}\); 2) \(\frac{33 - \sqrt{33}}{\sqrt{33}}\); 3) \(\frac{a - 2\sqrt{3a} + 3}{a - 3}\). 5. ОСВОБОДИТЬСЯ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ 1) \(\frac{3}{2\sqrt{6}}\) ; 2) \(\frac{10}{\sqrt{14} - 2}\). 6. УПРОСТИТЬ ВЫРАЖЕНИЕ \(\sqrt{(13 - \sqrt{101})^2} - \sqrt{(\sqrt{101} - 11)^2}\).

1. НАЙТИ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

1) Давай найдем значение выражения: 0.5\(\sqrt{1600}\) - \(\frac{1}{3}\)\(\sqrt{36}\). Сначала вычислим корни: \(\sqrt{1600} = 40\) и \(\sqrt{36} = 6\). Теперь подставим значения в выражение: 0.5 \(\cdot\) 40 - \(\frac{1}{3}\) \(\cdot\) 6 = 20 - 2 = 18. 2) Теперь найдем значение выражения: \(\sqrt{0,25 \cdot 81}\). Вычислим произведение под корнем: 0,25 \(\cdot\) 81 = 20,25. Теперь вычислим корень: \(\sqrt{20,25} = 4,5\). 3) Теперь найдем значение выражения: \(\sqrt{6^2 \cdot 2^8}\). Представим выражение в виде: \(\sqrt{36 \cdot 256}\). Вычислим произведение под корнем: 36 \(\cdot\) 256 = 9216. Теперь вычислим корень: \(\sqrt{9216} = 96\). 4) Теперь найдем значение выражения: \(\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} - \frac{\sqrt{63}}{\sqrt{7}}\). Сначала упростим произведение корней: \(\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10\). Теперь упростим частное корней: \(\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{63}{7}} = \sqrt{9} = 3\). Теперь подставим значения в выражение: 10 - 3 = 7.

Ответ: 1) 18; 2) 4.5; 3) 96; 4) 7

2. УПРОСТИТЬ ВЫРАЖЕНИЕ

1) Давай упростим выражение: 7\(\sqrt{2}\) - 3\(\sqrt{8}\) + 4\(\sqrt{18}\). Сначала упростим корни: \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\) и \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\). Теперь подставим значения в выражение: 7\(\sqrt{2}\) - 3 \(\cdot\) 2\(\sqrt{2}\) + 4 \(\cdot\) 3\(\sqrt{2}\) = 7\(\sqrt{2}\) - 6\(\sqrt{2}\) + 12\(\sqrt{2}\) = (7 - 6 + 12)\(\sqrt{2}\) = 13\(\sqrt{2}\). 2) Теперь упростим выражение: (\(\sqrt{90}\) - \(\sqrt{40}\)) \(\cdot \sqrt{10}\). Сначала упростим корни: \(\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}\) и \(\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}\). Теперь подставим значения в выражение: (3\(\sqrt{10}\) - 2\(\sqrt{10}\)) \(\cdot \sqrt{10}\) = (3 - 2)\(\sqrt{10}\) \(\cdot \sqrt{10}\) = 1 \(\cdot\) 10 = 10. 3) Теперь упростим выражение: (3\(\sqrt{5}\) - 2)\(^2\). Воспользуемся формулой квадрата разности: (a - b)\(^2\) = a\[^2\) - 2ab + b\[^2\). Тогда (3\(\sqrt{5}\) - 2)\(^2\) = (3\(\sqrt{5}\))\[^2\) - 2 \(\cdot\) 3\(\sqrt{5}\) \(\cdot\) 2 + 2\[^2\) = 9 \(\cdot\) 5 - 12\(\sqrt{5}\) + 4 = 45 - 12\(\sqrt{5}\) + 4 = 49 - 12\(\sqrt{5}\). 4) Теперь упростим выражение: (2\(\sqrt{3}\) + 3\(\sqrt{5}\))(2\(\sqrt{3}\) - 3\(\sqrt{5}\)). Воспользуемся формулой разности квадратов: (a + b)(a - b) = a\[^2\) - b\[^2\). Тогда (2\(\sqrt{3}\) + 3\(\sqrt{5}\))(2\(\sqrt{3}\) - 3\(\sqrt{5}\)) = (2\(\sqrt{3}\))\[^2\) - (3\(\sqrt{5}\))\[^2\) = 4 \(\cdot\) 3 - 9 \(\cdot\) 5 = 12 - 45 = -33.

Ответ: 1) 13\(\sqrt{2}\); 2) 10; 3) 49 - 12\(\sqrt{5}\); 4) -33

3. СРАВНИТЬ ЧИСЛА

1) Сравним числа 7\(\sqrt{2}\) и 6\(\sqrt{3}\). Возведем каждое число в квадрат: (7\(\sqrt{2}\))\[^2\) = 49 \(\cdot\) 2 = 98 и (6\(\sqrt{3}\))\[^2\) = 36 \(\cdot\) 3 = 108. Так как 98 < 108, то 7\(\sqrt{2}\) < 6\(\sqrt{3}\). 2) Сравним числа 6\(\sqrt{\frac{2}{3}}\) и 4\(\sqrt{\frac{3}{2}}\) . Преобразуем числа: 6\(\sqrt{\frac{2}{3}}\) = \(\sqrt{36 \cdot \frac{2}{3}}\) = \(\sqrt{12 \cdot 2}\) = \(\sqrt{24}\) и 4\(\sqrt{\frac{3}{2}}\) = \(\sqrt{16 \cdot \frac{3}{2}}\) = \(\sqrt{8 \cdot 3}\) = \(\sqrt{24}\). Так как \(\sqrt{24}\) = \(\sqrt{24}\), то 6\(\sqrt{\frac{2}{3}}\) = 4\(\sqrt{\frac{3}{2}}\) .

Ответ: 1) 7\(\sqrt{2}\) < 6\(\sqrt{3}\); 2) 6\(\sqrt{\frac{2}{3}}\) = 4\(\sqrt{\frac{3}{2}}\)

4. СОКРАТИТЬ ДРОБЬ

1) Сократим дробь: \(\frac{\sqrt{a} + 7}{a - 49}\). Заметим, что a - 49 = (\(\sqrt{a}\) - 7)(\(\sqrt{a}\) + 7). Тогда \(\frac{\sqrt{a} + 7}{a - 49}\) = \(\frac{\sqrt{a} + 7}{(\sqrt{a} - 7)(\sqrt{a} + 7)}\) = \(\frac{1}{\sqrt{a} - 7}\). 2) Сократим дробь: \(\frac{33 - \sqrt{33}}{\sqrt{33}}\). Представим 33 как \(\sqrt{33}\)\(^2\). Тогда \(\frac{33 - \sqrt{33}}{\sqrt{33}}\) = \(\frac{(\sqrt{33})^2 - \sqrt{33}}{\sqrt{33}}\) = \(\frac{\sqrt{33}(\sqrt{33} - 1)}{\sqrt{33}}\) = \(\sqrt{33} - 1\). 3) Сократим дробь: \(\frac{a - 2\sqrt{3a} + 3}{a - 3}\). Представим числитель в виде: (\(\sqrt{a}\))\[^2\) - 2\(\sqrt{3}\)\(\sqrt{a}\) + (\(\sqrt{3}\))\[^2\) = (\(\sqrt{a}\) - \(\sqrt{3}\))\[^2\). Представим знаменатель в виде: (\(\sqrt{a}\) - \(\sqrt{3}\))(\(\sqrt{a}\) + \(\sqrt{3}\)). Тогда \(\frac{a - 2\sqrt{3a} + 3}{a - 3}\) = \(\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{3})(\sqrt{a} + \sqrt{3})}\) = \(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{3}}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}\).

Ответ: 1) \(\frac{1}{\sqrt{a} - 7}\); 2) \(\sqrt{33} - 1\); 3) \(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{3}}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}\)

5. ОСВОБОДИТЬСЯ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ

1) Освободимся от иррациональности в знаменателе: \(\frac{3}{2\sqrt{6}}\) . Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}\): \(\frac{3}{2\sqrt{6}}\) = \(\frac{3 \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}\) = \(\frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6}\) = \(\frac{3\sqrt{6}}{12}\) = \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). 2) Освободимся от иррациональности в знаменателе: \(\frac{10}{\sqrt{14} - 2}\). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{14} + 2\): \(\frac{10}{\sqrt{14} - 2}\) = \(\frac{10(\sqrt{14} + 2)}{(\sqrt{14} - 2)(\sqrt{14} + 2)}\) = \(\frac{10(\sqrt{14} + 2)}{14 - 4}\) = \(\frac{10(\sqrt{14} + 2)}{10}\) = \(\sqrt{14} + 2\).

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt{6}}{4}\); 2) \(\sqrt{14} + 2\)

6. УПРОСТИТЬ ВЫРАЖЕНИЕ

Упростим выражение: \(\sqrt{(13 - \sqrt{101})^2} - \sqrt{(\sqrt{101} - 11)^2}\). Так как \(\sqrt{101}\) \(\approx\) 10.05, то 13 - \(\sqrt{101}\) > 0 и \(\sqrt{101}\) - 11 < 0. Тогда \(\sqrt{(13 - \sqrt{101})^2}\) = |13 - \(\sqrt{101}\)| = 13 - \(\sqrt{101}\) и \(\sqrt{(\sqrt{101} - 11)^2}\) = |\(\sqrt{101}\) - 11| = -(\(\sqrt{101}\) - 11) = 11 - \(\sqrt{101}\). Теперь подставим значения в выражение: 13 - \(\sqrt{101}\) - (11 - \(\sqrt{101}\)) = 13 - \(\sqrt{101}\) - 11 + \(\sqrt{101}\) = 13 - 11 = 2.

Ответ: 2

Отличная работа! Ты хорошо справился с этими заданиями. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!