Найти все значения параметра а, при которых уравнение (x - 1)(x² + 2 (a – 1)x + 4) = 0 имеет только два различных действительных корня.

Решение:

Давай разберем по порядку. Нам нужно найти все значения параметра a, при которых уравнение (x - 1)(x² + 2(a - 1)x + 4) = 0 имеет только два различных действительных корня.

Сначала заметим, что уравнение уже разложено на множители. Один из корней очевиден: x = 1. Теперь нам нужно, чтобы квадратное уравнение x² + 2(a - 1)x + 4 = 0 либо имело один корень, совпадающий с x = 1, либо не имело корней вообще.

Рассмотрим первый случай: квадратное уравнение имеет один корень, совпадающий с x = 1. Это означает, что x = 1 должен быть корнем квадратного уравнения, то есть при подстановке x = 1 в квадратное уравнение мы должны получить верное равенство:

1² + 2(a - 1)(1) + 4 = 0

1 + 2a - 2 + 4 = 0

2a + 3 = 0

a = -1.5

Теперь подставим a = -1.5 в квадратное уравнение и посмотрим, что получится:

x² + 2(-1.5 - 1)x + 4 = 0

x² - 5x + 4 = 0

(x - 1)(x - 4) = 0

Корни: x = 1, x = 4. Таким образом, при a = -1.5 уравнение имеет два различных корня: x = 1 и x = 4.

Теперь рассмотрим второй случай: квадратное уравнение x² + 2(a - 1)x + 4 = 0 не имеет действительных корней. Это означает, что дискриминант этого уравнения должен быть отрицательным:

D = (2(a - 1))² - 4(1)(4) < 0

4(a - 1)² - 16 < 0

(a - 1)² - 4 < 0

(a - 1)² < 4

-2 < a - 1 < 2

-1 < a < 3

Теперь рассмотрим третий случай: квадратное уравнение имеет два корня, один из которых x = 1

x² + 2(a - 1)x + 4 = 0

D = 0

(2(a - 1))² - 4(1)(4) = 0

4(a - 1)² - 16 = 0

(a - 1)² - 4 = 0

(a - 1)² = 4

a - 1 = 2 или a - 1 = -2

a = 3 или a = -1

x² + 4x + 4 = 0

(x + 2)² = 0

x = -2

x² - 4x + 4 = 0

(x - 2)² = 0

x = 2

Таким образом, при a = 3 или a = -1 уравнение имеет два различных корня: x = 1 и x = 2, x = 1 и x = -2

Объединяя все случаи, получаем, что a = -1.5, -1 < a < 3, a = 3, a = -1.

Объединяя решения, получаем a ∈ {-1.5, -1, 3}

Ответ: {-1,5;-1; 3}

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!