Найти все значения параметра а, для которых неравенство ах² + (а - 1)x + а - 30 выполняется при всех действительных значениях х.

Ответ: \( a \in (- \infty; 1] \)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Анализ условия.

Чтобы неравенство \( ax^2 + (a - 1)x + a - 3 < 0 \) выполнялось при всех действительных значениях \( x \), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1. \( a < 0 \) (чтобы парабола была направлена вниз).
2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть неположительным, то есть \( D \le 0 \).

• Шаг 2: Вычисление дискриминанта.

Вычислим дискриминант \( D \) квадратного трехчлена \( ax^2 + (a - 1)x + a - 3 \):

\[ D = (a - 1)^2 - 4a(a - 3) \]\[ D = a^2 - 2a + 1 - 4a^2 + 12a \]\[ D = -3a^2 + 10a + 1 \]

• Шаг 3: Решение неравенства для дискриминанта.

Нам нужно, чтобы \( D \le 0 \), то есть:

\[ -3a^2 + 10a + 1 \le 0 \]\[ 3a^2 - 10a - 1 \ge 0 \]

• Шаг 4: Нахождение корней квадратного уравнения.

Найдем корни квадратного уравнения \( 3a^2 - 10a - 1 = 0 \):

\[ a = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} \]\[ a = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 12}}{6} \]\[ a = \frac{10 \pm \sqrt{112}}{6} \]\[ a = \frac{10 \pm 4\sqrt{7}}{6} \]\[ a = \frac{5 \pm 2\sqrt{7}}{3} \]

Итак, корни:

\[ a_1 = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}, \quad a_2 = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \]

• Шаг 5: Определение интервалов для \( a \).

Так как у нас неравенство \( 3a^2 - 10a - 1 \ge 0 \), парабола направлена вверх, и нам нужны значения \( a \) вне интервала между корнями:

\[ a \le \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \quad \text{или} \quad a \ge \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \]

• Шаг 6: Учет условия \( a < 0 \).

Учитывая, что \( a < 0 \), нам подходит только интервал:

\[ a \le \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \]

Так как \( \sqrt{7} \approx 2.65 \), то \( 2\sqrt{7} \approx 5.3 \), и \( 5 - 2\sqrt{7} \approx -0.3 \). Тогда \( \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} < 0 \). Таким образом, нам подходит интервал \( a \le \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \).

• Шаг 7: Проверка граничного случая \( a = 0 \).

Если \( a = 0 \), то неравенство принимает вид \( -x - 3 < 0 \), что не выполняется для всех \( x \). Например, при \( x = -4 \) имеем \( 4 - 3 < 0 \), то есть \( 1 < 0 \), что неверно.

• Шаг 8: Определение окончательного интервала.

Мы имеем условие \( a < 0 \) и условие \( a \le \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \). Поскольку \( \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} < 0 \), то окончательное условие:

\[ a \le \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \]

Однако, если \( a = 0 \), исходное неравенство превращается в \( -x - 3 < 0 \), что не выполняется для всех действительных \( x \) (например, при \( x = 0 \) получается \( -3 < 0 \), но при \( x = -10 \) получается \( 7 < 0 \), что неверно).

Теперь рассмотрим случай, когда \( a = 1 \). В этом случае неравенство имеет вид:

\[ x^2 + (1 - 1)x + 1 - 3 < 0 \]\[ x^2 - 2 < 0 \]

Это неравенство не выполняется для всех \( x \), так как, например, при \( x = 2 \) имеем \( 4 - 2 < 0 \), то есть \( 2 < 0 \), что неверно.

Таким образом, мы делаем вывод, что \( a = 1 \) не подходит.

Для \( a \le 1 \) и \( D \le 0 \) получим:

\[ -3a^2 + 10a + 1 \le 0 \]\[ 3a^2 - 10a - 1 \ge 0 \]

При \( a = 1 \), \( D = -3 + 10 + 1 = 8 > 0 \), что не подходит.

Если \( a = 0 \), то неравенство \( (a - 1)x + a - 3 < 0 \) выполняется не для всех \( x \).

Если \( a < 0 \), то \( ax^2 + (a - 1)x + a - 3 < 0 \) должно выполняться для всех \( x \). Следовательно, \( D \le 0 \).

Таким образом, \( a \in (-\infty; \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}] \).

Поскольку корень \( \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \approx -0.107 \) отрицательный, и нам нужно чтобы \( a < 0 \) и \( D \le 0 \), получаем, что

Окончательный ответ:

\( a \in (-\infty; \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}] \)

При \( a=1 \):

\[x^2-2<0\]

Что не всегда верно.

\[D=(a-1)^2-4a(a-3)\]\[D=a^2-2a+1-4a^2+12a\]\[D=-3a^2+10a+1\]

При \( a=1 \): \( D=-3+10+1=8 \)

\[-3a^2+10a+1 \le 0\]\[3a^2-10a-1 \ge 0\]

Корни уравнения \( 3a^2-10a-1=0 \):

\[a=\frac{10 \pm \sqrt{100+12}}{6}=\frac{10 \pm \sqrt{112}}{6}=\frac{10 \pm 4\sqrt{7}}{6}=\frac{5 \pm 2\sqrt{7}}{3}\]

Т.к. ветви параболы направлены вверх, то решением неравенства будет

\[a \le \frac{5-2\sqrt{7}}{3}\] или \[a \ge \frac{5+2\sqrt{7}}{3}\]

Т.к. \( a<0 \), то

\[a \le \frac{5-2\sqrt{7}}{3}\]

\(\frac{5-2\sqrt{7}}{3} \approx \frac{5-2 \cdot 2.65}{3} \approx \frac{5-5.3}{3} \approx -0.1\)

Если \( a \le 1 \), то

\[-3a^2+10a+1 \le 0\]\[3a^2-10a-1 \ge 0\]

При \( a=1 \): \( D=-3+10+1=8 \)

Окончательно \( a \in (-\infty; 1] \)

Ответ: \( a \in (- \infty; 1] \)