Найти угол CAD, если \(\angle\) BAC = 45^{\(\circ\)}.

Решение:

В данной задаче изображена окружность с центром в точке \( O \). Точки \( B \) и \( C \) лежат на окружности. \( AB \) и \( AC \) — касательные к окружности, проведённые из точки \( A \).

Известно, что радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, \( OB \perp AB \) и \( OC \perp AC \). Это означает, что \( \angle ABO = 90^{\circ} \) и \( \angle ACO = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырёхугольник \( ABOC \). Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle BOC + \angle ABO + \angle BAC + \angle ACO = 360^{\circ} \)

\( \angle BOC + 90^{\circ} + 45^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle BOC + 225^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle BOC = 360^{\circ} - 225^{\circ} = 135^{\circ} \)

Центральный угол \( \angle BOC \) равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Угол \( \angle BAC \) не является вписанным углом, опирающимся на дугу \( BC \).

Однако, из свойств касательных, проведённых из одной точки, следует, что отрезки \( AB = AC \), а луч \( AO \) является биссектрисой угла \( \angle BAC \) и угла \( \angle BOC \).

Так как \( AO \) — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle BAO = \angle CAO = \frac{\angle BAC}{2} \).

\( \angle BAO = \angle CAO = \frac{45^{\circ}}{2} = 22.5^{\circ} \)

В задании обозначен угол \( \angle CAD \) вопросительным знаком, где \( AD \) — это прямая, проходящая через центр \( O \) и точку \( A \). Эта прямая является биссектрисой \( \angle BAC \). Следовательно, \( \angle CAD = \angle CAO \).

\( \angle CAD = 22.5^{\circ} \)

Ответ: \( 22.5^{\circ} \).