Найти сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, если ее апофема SK= 13см, а высота SO=12см.

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде апофема, высота и отрезок, соединяющий вершину основания с центром апофемы, образуют прямоугольный треугольник. В данном случае это треугольник \( \triangle SOK \), где \( S \) — вершина пирамиды, \( O \) — центр основания, \( K \) — середина стороны основания.

Нам дано:

• Апофема \( SK = 13 \) см.
• Высота \( SO = 12 \) см.

Необходимо найти сторону основания пирамиды.

В прямоугольном треугольнике \( \triangle SOK \) применим теорему Пифагора: \( SK^2 = SO^2 + OK^2 \).

Выразим \( OK \):

\[ OK^2 = SK^2 - SO^2 \]\[ OK^2 = 13^2 - 12^2 \]\[ OK^2 = 169 - 144 \]\[ OK^2 = 25 \]\[ OK = \(\sqrt{25}\) = 5 \) см.

Отрезок \( OK \) является радиусом вписанной окружности в квадрат (основание пирамиды) и равен половине стороны основания. Обозначим сторону основания как \( a \).

\( OK = \frac{a}{2} \)

Следовательно, \( a = 2 \cdot OK \).

\[ a = 2 \(\cdot\) 5 \) см.
\[ a = 10 \) см.

Ответ: сторона основания пирамиды равна 10 см.