1. Найти производную с помощью логарифмического дифференцирования y = (3lnx+1)^{3x+1} в точкех₀ = 1

Для нахождения производной функции $$y = (3\ln x+1)^{3x+1}$$ в точке $$x_0 = 1$$ с использованием логарифмического дифференцирования, выполним следующие шаги:

1. Прологарифмируем обе части уравнения:

   $$\ln y = \ln((3\ln x+1)^{3x+1})$$

   $$\ln y = (3x+1) \ln(3\ln x+1)$$

2. Продифференцируем обе части уравнения по $$x$$:

   Используем правило дифференцирования сложной функции и произведения функций:

   $$\frac{1}{y} \cdot y' = 3 \cdot \ln(3\ln x+1) + (3x+1) \cdot \frac{1}{3\ln x+1} \cdot \frac{3}{x}$$

   $$\frac{y'}{y} = 3\ln(3\ln x+1) + \frac{3(3x+1)}{x(3\ln x+1)}$$

3. Выразим $$y'$$:

   $$y' = y \left( 3\ln(3\ln x+1) + \frac{3(3x+1)}{x(3\ln x+1)} \right)$$

   $$y' = (3\ln x+1)^{3x+1} \left( 3\ln(3\ln x+1) + \frac{3(3x+1)}{x(3\ln x+1)} \right)$$

4. Подставим $$x_0 = 1$$ в выражение для $$y'$$:

   Найдем значение $$y$$ при $$x=1$$:

   $$y(1) = (3\ln 1+1)^{3(1)+1} = (3 \cdot 0 + 1)^{4} = 1^4 = 1$$

   Найдем значение $$y'$$ при $$x=1$$:

   $$y'(1) = (3\ln 1+1)^{3(1)+1} \left( 3\ln(3\ln 1+1) + \frac{3(3(1)+1)}{1(3\ln 1+1)} \right)$$

   $$y'(1) = 1 \cdot \left( 3\ln(1) + \frac{3(4)}{1(1)} \right)$$

   $$y'(1) = 0 + 12 = 12$$

Ответ: 12