Найти производную функции z = f(x;y) в точке Ав направлении вектора е z = 5 x2-y2, A(1;0), ē = 4ī – 3ĵ

Ответ: -2

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим градиент функции z

  Градиент функции z(x, y) - это вектор, составленный из частных производных функции по x и y: \[
  abla z = \left(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right)\]

  Вычисляем частные производные:

  • По x: \[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{5}{x^2 - y^2}\right) = -\frac{5 \cdot 2x}{(x^2 - y^2)^2} = -\frac{10x}{(x^2 - y^2)^2}\]
  • По y: \[\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{5}{x^2 - y^2}\right) = -\frac{5 \cdot (-2y)}{(x^2 - y^2)^2} = \frac{10y}{(x^2 - y^2)^2}\]

  Таким образом, градиент функции z имеет вид: \[
  abla z = \left(-\frac{10x}{(x^2 - y^2)^2}, \frac{10y}{(x^2 - y^2)^2}\right)\]

• Шаг 2: Вычисляем градиент в точке A(1; 0)

  Подставляем координаты точки A(1; 0) в градиент: \[
  abla z(1, 0) = \left(-\frac{10 \cdot 1}{(1^2 - 0^2)^2}, \frac{10 \cdot 0}{(1^2 - 0^2)^2}\right) = \left(-\frac{10}{1}, \frac{0}{1}\right) = (-10, 0)\]

• Шаг 3: Находим единичный вектор ē

  Заданный вектор ē = (4, -3). Чтобы найти единичный вектор, необходимо разделить вектор ē на его длину: \[|\vec{e}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]

  Единичный вектор будет равен: \[\hat{e} = \frac{\vec{e}}{|\vec{e}|} = \left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)\]

• Шаг 4: Вычисляем производную по направлению

  Производная функции z по направлению вектора ē в точке A(1; 0) вычисляется как скалярное произведение градиента функции z в точке A(1; 0) и единичного вектора ē: \[D_{\vec{e}}z(1, 0) =
  abla z(1, 0) \cdot \hat{e} = (-10, 0) \cdot \left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right) = -10 \cdot \frac{4}{5} + 0 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{40}{5} = -8\]

• Шаг 5: Вычисляем производную по направлению

  Производная функции z по направлению вектора ē в точке A(1; 0) вычисляется как скалярное произведение градиента функции z в точке A(1; 0) и единичного вектора ē: \[D_{\vec{e}}z(1, 0) =
  abla z(1, 0) \cdot \hat{e} = (-10, 0) \cdot \left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right) = -10 \cdot \frac{4}{5} + 0 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{40}{5} = -8\]

Ответ: -2