Найти производную: 1. 2^x + x^4, 2. sin(1 - 2x), 3. ln(x^2 + 1), 4. e^sqrt(x), 5. (ln x) / x, 6. (sin x - cos x) / x

Задание 1. Производная 2^x + x⁴

Для нахождения производной данной функции применяем правила дифференцирования:

• Производная от \( a^x \) равна \( a^x \ln a \).
• Производная от \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \).
• Производная суммы равна сумме производных.

Применим эти правила:

• Производная от \( 2^x \) равна \( 2^x \ln 2 \).
• Производная от \( x^4 \) равна \( 4x^{4-1} = 4x^3 \).

Суммируем полученные производные:

\[ \frac{d}{dx}(2^x + x^4) = \frac{d}{dx}(2^x) + \frac{d}{dx}(x^4) = 2^x \ln 2 + 4x^3 \]

Ответ: \( 2^x \ln 2 + 4x^3 \)

Задание 2. Производная sin(1 - 2x)

Для нахождения производной данной функции применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): \( \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

• Внешняя функция: \( f(u) = \sin u \), её производная \( f'(u) = \cos u \).
• Внутренняя функция: \( g(x) = 1 - 2x \), её производная \( g'(x) = -2 \).

Применяем цепное правило:

\[ \frac{d}{dx}(\sin(1 - 2x)) = \cos(1 - 2x) \cdot (-2) = -2 \cos(1 - 2x) \]

Ответ: \( -2 \cos(1 - 2x) \)

Задание 3. Производная ln(x² + 1)

Для нахождения производной данной функции применяем правило дифференцирования сложной функции:

• Внешняя функция: \( f(u) = \ln u \), её производная \( f'(u) = \frac{1}{u} \).
• Внутренняя функция: \( g(x) = x^2 + 1 \), её производная \( g'(x) = 2x \).

Применяем цепное правило:

\[ \frac{d}{dx}(\ln(x^2 + 1)) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \]

Ответ: \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)

Задание 4. Производная e^√x

Для нахождения производной данной функции применяем правило дифференцирования сложной функции:

• Внешняя функция: \( f(u) = e^u \), её производная \( f'(u) = e^u \).
• Внутренняя функция: \( g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \), её производная \( g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Применяем цепное правило:

\[ \frac{d}{dx}(e^{\sqrt{x}}) = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \]

Ответ: \( \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \)

Задание 5. Производная (ln x) / x

Для нахождения производной данной функции применяем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

• \( u = \ln x \), \( u' = \frac{1}{x} \).
• \( v = x \), \( v' = 1 \).

Применяем правило:

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{x}\right) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \]

Ответ: \( \frac{1 - \ln x}{x^2} \)

Задание 6. Производная (sin x - cos x) / x

Для нахождения производной данной функции применяем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

• \( u = \sin x - \cos x \), \( u' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x \).
• \( v = x \), \( v' = 1 \).

Применяем правило:

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x - \cos x}{x}\right) = \frac{(\cos x + \sin x) \cdot x - (\sin x - \cos x) \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x + x \sin x - \sin x + \cos x}{x^2} \]

Ответ: \( \frac{x \cos x + x \sin x - \sin x + \cos x}{x^2} \)