Найти производную: 1. 0,5^x + √x 2. sin(lnx) 3. ln(2x - 1) 4. e^(x^3) 5. cosx * e^(0,5x) 6. (1 + cosx) / sinx

Задание: Найти производную

Привет! Давай разберёмся с этими производными по шагам.

1. Производная от 0,5^x + √x

Здесь у нас сумма двух функций. Производная суммы равна сумме производных:

\( \frac{d}{dx}(0.5^x + \sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(0.5^x) + \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \)

Производная от a^x равна a^x * ln(a). В нашем случае a = 0.5.

Производная от √x (или x^0.5) равна 0.5 * x^-0.5, что то же самое, что \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Итого:

\( \frac{d}{dx}(0.5^x + \sqrt{x}) = 0.5^x \cdot \ln(0.5) + \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

Ответ: \( 0.5^x \cdot \ln(0.5) + \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

2. Производная от sin(lnx)

Тут у нас композиция функций (функция внутри функции). Будем использовать правило цепочки.

Пусть u = lnx. Тогда нам нужно найти производную от sin(u).

Производная от sin(u) по u равна cos(u).

Производная от u = lnx по x равна 1/x.

По правилу цепочки, производная от sin(lnx) равна произведению производных:

\( \frac{d}{dx}(\sin(\ln x)) = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \)

Ответ: \( \frac{\cos(\ln x)}{x} \)

3. Производная от ln(2x - 1)

Снова правило цепочки! Пусть u = 2x - 1.

Производная от ln(u) по u равна 1/u.

Производная от u = 2x - 1 по x равна 2.

Применяем правило цепочки:

\( \frac{d}{dx}(\ln(2x - 1)) = \frac{1}{2x - 1} \cdot 2 \)

Ответ: \( \frac{2}{2x - 1} \)

4. Производная от e^x3

Используем правило цепочки. Пусть u = x³.

Производная от e^u по u равна e^u.

Производная от u = x³ по x равна 3x².

По правилу цепочки:

\( \frac{d}{dx}(e^{x^3}) = e^{x^3} \cdot 3x^2 \)

Ответ: \( 3x^2 e^{x^3} \)

5. Производная от cosx * e^0,5x

Здесь у нас произведение двух функций. Используем правило произведения: (uv)' = u'v + uv'.

Пусть u = cosx и v = e^0.5x.

Найдем производные:

• \( u' = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)
• Для v используем правило цепочки: пусть w = 0.5x. Производная от e^w равна e^w. Производная от w = 0.5x равна 0.5.
• Значит, \( v' = \frac{d}{dx}(e^{0.5x}) = e^{0.5x} \cdot 0.5 \)

Подставляем в формулу произведения:

\( (\cos x \cdot e^{0.5x})' = (-\sin x) \cdot e^{0.5x} + \cos x \cdot (e^{0.5x} \cdot 0.5) \)

\( = -\sin x \cdot e^{0.5x} + 0.5 \cos x \cdot e^{0.5x} \)

Можно вынести e^0.5x за скобки:

\( = e^{0.5x} (0.5 \cos x - \sin x) \)

Ответ: \( e^{0.5x} (0.5 \cos x - \sin x) \) или \( \frac{1}{2} e^{0.5x} (\cos x - 2 \sin x) \)

6. Производная от (1 + cosx) / sinx

Это частное двух функций. Используем правило частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v².

Пусть u = 1 + cosx и v = sinx.

Найдем производные:

• \( u' = \frac{d}{dx}(1 + \cos x) = 0 - \sin x = -\sin x \)
• \( v' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)

Подставляем в формулу частного:

\( \left(\frac{1 + \cos x}{\sin x}\right)' = \frac{(-\sin x) \cdot \sin x - (1 + \cos x) \cdot \cos x}{(\sin x)^2} \)

Раскрываем скобки в числителе:

\( = \frac{-\sin^2 x - (\cos x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} \)

\( = \frac{-\sin^2 x - \cos x - \cos^2 x}{\sin^2 x} \)

Используем основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1:

\( = \frac{-( \sin^2 x + \cos^2 x) - \cos x}{\sin^2 x} \)

\( = \frac{-1 - \cos x}{\sin^2 x} \)

Можно преобразовать знаменатель, используя sin²x = 1 - cos²x:

\( = \frac{-(1 + \cos x)}{1 - \cos^2 x} \)

Знаменатель — это разность квадратов (1 - cos x)(1 + cos x):

\( = \frac{-(1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} \)

Сокращаем (1 + cos x):

\( = \frac{-1}{1 - \cos x} \)

Или, умножив числитель и знаменатель на -1:

\( = \frac{1}{\cos x - 1} \)

Ответ: \( \frac{-1 - \cos x}{\sin^2 x} \) или \( \frac{1}{\cos x - 1} \) или \( \frac{-1}{1 - \cos x} \)