Найти, при каких значениях n значение дроби \(\frac{n^2-3n-11}{n-4}\) является целым

Привет! Давай вместе решим эту интересную задачу. Нам нужно найти значения \(n\), при которых дробь \(\frac{n^2-3n-11}{n-4}\) является целым числом.

Сначала выполним деление многочлена на многочлен, чтобы упростить выражение:

\[\frac{n^2-3n-11}{n-4} = n + 1 - \frac{7}{n-4}\]

Теперь нам нужно, чтобы выражение \(n + 1 - \frac{7}{n-4}\) было целым числом. Так как \(n\) - целое число, то \(n + 1\) тоже целое число. Значит, для того чтобы вся дробь была целым числом, необходимо, чтобы \(\frac{7}{n-4}\) было целым числом.

Это произойдет, если \(n-4\) является делителем числа 7. Делители числа 7 это: -7, -1, 1, 7.

Тогда:

1) \(n - 4 = -7 \Rightarrow n = -3\)

2) \(n - 4 = -1 \Rightarrow n = 3\)

3) \(n - 4 = 1 \Rightarrow n = 5\)

4) \(n - 4 = 7 \Rightarrow n = 11\)

Таким образом, значения \(n\), при которых дробь \(\frac{n^2-3n-11}{n-4}\) является целым числом, это -3, 3, 5 и 11.

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!