Найти пределы: a) lim x+5/x²-2x+1, 6) lim x²-3x/x²-x-6, в) lim 6-x/x²-2x.

Решение:

а) \(\lim_{x \to 1} \frac{x+5}{x^2-2x+1}\) Давай разберем по порядку. Сначала подставим значение \(x = 1\) в выражение: \(\frac{1+5}{1^2-2(1)+1} = \frac{6}{1-2+1} = \frac{6}{0}\) Так как получили деление на ноль, преобразуем выражение: \(\lim_{x \to 1} \frac{x+5}{(x-1)^2}\) При \(x \to 1\) числитель стремится к 6, а знаменатель к 0. Знаменатель всегда положителен, так как в квадрате. Следовательно, предел равен бесконечности.

Ответ: +∞

б) \(\lim_{x \to -2} \frac{x^2-3x}{x^2-x-6}\) Подставим значение \(x = -2\) в выражение: \(\frac{(-2)^2-3(-2)}{(-2)^2-(-2)-6} = \frac{4+6}{4+2-6} = \frac{10}{0}\) Получили деление на ноль, значит, надо преобразовать выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители: \(\lim_{x \to -2} \frac{x(x-3)}{(x+2)(x-3)}\) Сократим на \((x-3)\): \(\lim_{x \to -2} \frac{x}{x+2}\) Теперь подставим \(x = -2\): \(\frac{-2}{-2+2} = \frac{-2}{0}\) При \(x \to -2\) числитель стремится к -2, а знаменатель к 0. Рассмотрим знаки: Если \(x \to -2^+ \) (справа), то \(x+2 > 0\), и предел равен \(-\infty\). Если \(x \to -2^- \) (слева), то \(x+2 < 0\), и предел равен \(+\infty\). Так как пределы справа и слева не совпадают, предел не существует.

Ответ: не существует

в) \(\lim_{x \to 0} \frac{6-x}{x^2-2x}\) Подставим значение \(x = 0\) в выражение: \(\frac{6-0}{0^2-2(0)} = \frac{6}{0}\) Получили деление на ноль, значит, надо преобразовать выражение: \(\lim_{x \to 0} \frac{6-x}{x(x-2)}\) При \(x \to 0\) числитель стремится к 6, а знаменатель к 0. Рассмотрим знаки: Если \(x \to 0^+ \) (справа), то \(x > 0\) и \(x-2 < 0\), значит, \(x(x-2) < 0\), и предел равен \(-\infty\). Если \(x \to 0^- \) (слева), то \(x < 0\) и \(x-2 < 0\), значит, \(x(x-2) > 0\), и предел равен \(+\infty\). Так как пределы справа и слева не совпадают, предел не существует.

Ответ: не существует

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и все получится!