Найти предел функции: $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{6x}$$

Решение:

Для нахождения предела функции \( \lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{6x} \) воспользуемся известным пределом \( \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \).

Преобразуем выражение:

1. Вынесем константу \( \frac{1}{6} \) за знак предела: \( \frac{1}{6} \lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{x} \)
2. Умножим и разделим числитель и знаменатель на \( 3 \), чтобы получить \( \frac{\sin 3x}{3x} \): \( \frac{1}{6} \lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \)
3. Вынесем константу \( 3 \) за знак предела: \( \frac{1}{6} \cdot 3 \lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)
4. Упростим: \( \frac{1}{2} \lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)
5. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = 3x \). Когда \( x \to 0 \), то \( y \to 0 \).
6. Подставим \( y \) в предел: \( \frac{1}{2} \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} \)
7. Используем известное значение предела \( \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \): \( \frac{1}{2} \cdot 1 \)
8. Получим результат: \( \frac{1}{2} \)

Ответ: $$\frac{1}{2}$$