Найти предел функции: lim x→5 (x² - 25) / (x² - 6x + 5)

Решение:

Нам нужно найти предел функции \( \frac{x^2 - 25}{x^2 - 6x + 5} \) при \( x \to 5 \).

1. Подставим \( x=5 \) в числитель и знаменатель: \( 5^2 - 25 = 25 - 25 = 0 \) и \( 5^2 - 6(5) + 5 = 25 - 30 + 5 = 0 \). Так как мы получили неопределённость вида \( \frac{0}{0} \), мы можем разложить числитель и знаменатель на множители.
2. Разложим числитель \( x^2 - 25 \) как разность квадратов: \( x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \).
3. Разложим знаменатель \( x^2 - 6x + 5 \) на множители. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 6x + 5 = 0 \). \( D = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 \). \( x_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1 \). Значит, \( x^2 - 6x + 5 = (x - 5)(x - 1) \).
4. Теперь подставим разложенные выражения обратно в предел: \[ \lim_{x\to5} \frac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)(x - 1)} \]
5. Сократим \( (x - 5) \), так как \( x \to 5 \), но \( x \neq 5 \): \[ \lim_{x\to5} \frac{x + 5}{x - 1} \]
6. Теперь подставим \( x = 5 \) в упрощённое выражение: \[ \frac{5 + 5}{5 - 1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \]

Ответ: \( \frac{5}{2} \).