Найти предел функции: lim x→∞ (12x³ - 5x + 8) / (4x³ - 4x² - 5)

Решение:

Чтобы найти предел рациональной функции при \( x \to \infty \), нужно разделить числитель и знаменатель на старшую степень \( x \), которая в данном случае равна \( x^3 \).

Разделим числитель и знаменатель на \( x^3 \):

• Числитель: \( \frac{12x^3}{x^3} - \frac{5x}{x^3} + \frac{8}{x^3} = 12 - \frac{5}{x^2} + \frac{8}{x^3} \)
• Знаменатель: \( \frac{4x^3}{x^3} - \frac{4x^2}{x^3} - \frac{5}{x^3} = 4 - \frac{4}{x} - \frac{5}{x^3} \)

Теперь запишем предел:

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{12 - \frac{5}{x^2} + \frac{8}{x^3}}{4 - \frac{4}{x} - \frac{5}{x^3}} \]

Когда \( x \to \infty \), члены вида \( \frac{c}{x^n} \) (где \( c \) — константа, \( n > 0 \)) стремятся к нулю.

Таким образом:

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{12 - 0 + 0}{4 - 0 - 0} = \frac{12}{4} = 3 \]

Ответ: 3