Найти предел функции: lim (12x^3 - 5x + 8) / (4x^3 - 4x^2 - 5) при x -> ∞

Решение:

Для нахождения предела функции при \( x \to \infty \), нужно разделить числитель и знаменатель на старшую степень \( x \) в знаменателе, которая равна \( x^3 \).

1. Разделим числитель на \( x^3 \):
   \( \frac{12x^3 - 5x + 8}{x^3} = \frac{12x^3}{x^3} - \frac{5x}{x^3} + \frac{8}{x^3} = 12 - \frac{5}{x^2} + \frac{8}{x^3} \)
2. Разделим знаменатель на \( x^3 \):
   \( \frac{4x^3 - 4x^2 - 5}{x^3} = \frac{4x^3}{x^3} - \frac{4x^2}{x^3} - \frac{5}{x^3} = 4 - \frac{4}{x} - \frac{5}{x^3} \)
3. Теперь найдем предел всего выражения:
   \[ \lim_{x \to \infty} \frac{12 - \frac{5}{x^2} + \frac{8}{x^3}}{4 - \frac{4}{x} - \frac{5}{x^3}} \]
4. При \( x \to \infty \), члены вида \( \frac{c}{x^n} \) (где \( n > 0 \)) стремятся к нулю.
5. Следовательно, предел равен:
   \[ \frac{12 - 0 + 0}{4 - 0 - 0} = \frac{12}{4} = 3 \]

Ответ: 3