Найти площадь криволинейной трапеции (х-1)², ограниченной линиями х=2 и х=1, осью Ох Выполните чертеж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение:

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = (x-1)^2 \), осью Ox и прямыми \( x=1 \) и \( x=2 \), необходимо вычислить определенный интеграл от функции \( y = (x-1)^2 \) в пределах от 1 до 2.

Формула площади: \( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае: \( a=1 \), \( b=2 \), \( f(x) = (x-1)^2 \).

Вычисляем интеграл:

\[ S = \int_{1}^{2} (x-1)^2 dx \]

Сделаем замену переменной: пусть \( u = x-1 \), тогда \( du = dx \).

Когда \( x=1 \), \( u = 1-1 = 0 \).

Когда \( x=2 \), \( u = 2-1 = 1 \).

Интеграл принимает вид:

\[ S = \int_{0}^{1} u^2 du \]

Теперь найдем первообразную от \( u^2 \):

\[ \int u^2 du = \frac{u^3}{3} \]

Вычисляем определенный интеграл:

\[ S = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \]

Площадь криволинейной трапеции составляет \( \frac{1}{3} \) квадратных метра.

Ответ: \( \frac{1}{3} \) квадратных метра.