Найти площадь криволинейной трапеции 3x³ - 4x²

Решение:

Для нахождения площади криволинейной трапеции необходимо найти корни уравнения \( 3x^3 - 4x^2 = 0 \), чтобы определить пределы интегрирования.

1. Вынесем общий множитель \( x^2 \): \( x^2(3x - 4) = 0 \).
2. Находим корни: \( x^2 = 0 \) даёт \( x = 0 \), и \( 3x - 4 = 0 \) даёт \( x = \frac{4}{3} \).
3. Пределы интегрирования: от 0 до \( \frac{4}{3} \).
4. Вычисляем определённый интеграл: \( \int_{0}^{4/3} (3x^3 - 4x^2) dx \)
5. Интегрируем по частям: \( [\frac{3x^4}{4} - \frac{4x^3}{3}]_{0}^{4/3} \)
6. Подставляем пределы интегрирования: \( (\frac{3(\frac{4}{3})^4}{4} - \frac{4(\frac{4}{3})^3}{3}) - (\frac{3(0)^4}{4} - \frac{4(0)^3}{3}) \)
7. Упрощаем: \( (\frac{3 \cdot \frac{256}{81}}{4} - \frac{4 \cdot \frac{64}{27}}{3}) - 0 \)
8. \( (\frac{3 \cdot 256}{4 \cdot 81} - \frac{4 \cdot 64}{3 \cdot 27}) \)
9. \( (\frac{768}{324} - \frac{256}{81}) \)
10. Приводим к общему знаменателю 324: \( (\frac{768}{324} - \frac{256 \cdot 4}{81 \cdot 4}) = \frac{768 - 1024}{324} = \frac{-256}{324} \)
11. Сокращаем дробь: \( \frac{-256}{324} = \frac{-64}{81} \)

Так как площадь не может быть отрицательной, мы берём модуль результата. Это означает, что криволинейная трапеция находится ниже оси Ox.

Ответ: Площадь криволинейной трапеции равна \( \frac{64}{81} \) квадратных единиц.