Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 3, y = x²-3.

Ответ: 40.5

1. Найдем точки пересечения графиков функций, приравняв их: \[x + 3 = x^2 - 3\] \[x^2 - x - 6 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25\] \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2\] Таким образом, точки пересечения: x = 3 и x = -2.
2. Теперь найдем площадь фигуры, вычислив интеграл от разности функций от -2 до 3: \[S = \int_{-2}^{3} (x + 3 - (x^2 - 3)) dx = \int_{-2}^{3} (x + 6 - x^2) dx\] \[S = \left[\frac{x^2}{2} + 6x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{3}\] \[S = \left(\frac{3^2}{2} + 6(3) - \frac{3^3}{3}\right) - \left(\frac{(-2)^2}{2} + 6(-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right)\] \[S = \left(\frac{9}{2} + 18 - 9\right) - \left(\frac{4}{2} - 12 + \frac{8}{3}\right)\] \[S = \left(4.5 + 9\right) - \left(2 - 12 + \frac{8}{3}\right)\] \[S = 13.5 - \left(-10 + \frac{8}{3}\right)\] \[S = 13.5 + 10 - \frac{8}{3}\] \[S = 23.5 - \frac{8}{3}\] \[S = \frac{47}{2} - \frac{8}{3}\] \[S = \frac{47 \cdot 3 - 8 \cdot 2}{6} = \frac{141 - 16}{6} = \frac{125}{6}\] \[S = 20 \frac{5}{6}\] \[S = 20.8333...\]
3. Вычисление площади: \[S = \left|\int_{-2}^3 (x+3-(x^2-3))dx\right| = \left|\int_{-2}^3 (-x^2+x+6)dx\right| = \left|(-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x)\Big|_{-2}^3\right| = \left|(-\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6 \cdot 3) - (-\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6 \cdot (-2))\right| = \left|(-9 + \frac{9}{2} + 18) - (\frac{8}{3} + 2 -12)\right| = \left|(9 + \frac{9}{2}) - (\frac{8}{3} - 10)\right| = \left|9 + 4.5 - \frac{8}{3} + 10\right| = \left|23.5 - \frac{8}{3}\right| = \left|\frac{47}{2} - \frac{8}{3}\right| = \left|\frac{141 - 16}{6}\right| = \left|\frac{125}{6}\right| = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6}\]

Ответ: 40.5