Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2-10+8х и y = x^2-4x+6

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя параболами, необходимо сначала найти точки их пересечения.

Приравниваем уравнения:

\[ -x^2 - 10 + 8x = x^2 - 4x + 6 \]\[ 2x^2 - 12x + 16 = 0 \]\[ x^2 - 6x + 8 = 0 \]

Находим корни квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \]

Получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2 \]\[ x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \]

Теперь находим площадь фигуры, используя определенный интеграл разности функций:

\[ S = \int_{2}^{4} ((x^2 - 4x + 6) - (-x^2 - 10 + 8x)) dx \]\[ S = \int_{2}^{4} (x^2 - 4x + 6 + x^2 + 10 - 8x) dx \]\[ S = \int_{2}^{4} (2x^2 - 12x + 16) dx \]

Интегрируем:

\[ S = \left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{12x^2}{2} + 16x \right]_{2}^{4} \]\[ S = \left[ \frac{2x^3}{3} - 6x^2 + 16x \right]_{2}^{4} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ S = \left( \frac{2(4)^3}{3} - 6(4)^2 + 16(4) \right) - \left( \frac{2(2)^3}{3} - 6(2)^2 + 16(2) \right) \]\[ S = \left( \frac{2 \cdot 64}{3} - 6 \cdot 16 + 64 \right) - \left( \frac{2 \cdot 8}{3} - 6 \cdot 4 + 32 \right) \]\[ S = \left( \frac{128}{3} - 96 + 64 \right) - \left( \frac{16}{3} - 24 + 32 \right) \]\[ S = \left( \frac{128}{3} - 32 \right) - \left( \frac{16}{3} + 8 \right) \]\[ S = \frac{128}{3} - 32 - \frac{16}{3} - 8 \]\[ S = \frac{112}{3} - 40 \]\[ S = \frac{112 - 120}{3} \]\[ S = -\frac{8}{3} \]

Площадь не может быть отрицательной. Из-за того, что мы вычитали верхнюю функцию из нижней, мы получили отрицательное значение. Площадь равна модулю этого значения.

Ответ: Площадь фигуры равна \(\frac{8}{3}\).