Найти первообразную функции, применяя свойства неопределенного интеграла и таблицу первообразных. 1) ∫(6/√x + x)² dx 2) ∫ 5/(1-2x) dx 3) ∫ (e^(x/4) - 3x + 2) dx 4) ∫ (5sin 3x + 6cos(3x/2)) dx 5) ∫ 2/cos²5x dx 6) ∫ 1/√(x²-1) dx 7) ∫ 8/√(25-4x²) dx 8) ∫ 1/(x²-2) dx 9) ∫ 1/(x²+25) dx

Решение:

• 1) ∫(6/√x + x)² dx

  Сначала раскроем квадрат:

  ∫(36/x + 12/√x * x + x²) dx = ∫(36/x + 12√x + x²) dx

  Теперь интегрируем по частям:

  = 36ln|x| + 12 * (2/3) * x^(3/2) + (1/3)x³ + C = 36ln|x| + 8x^(3/2) + (1/3)x³ + C

• 2) ∫ 5/(1-2x) dx

  Заменим u = 1-2x, du = -2 dx, dx = -1/2 du

  ∫ 5/(1-2x) dx = -5/2 ∫ 1/u du = -5/2 ln|u| + C = -5/2 ln|1-2x| + C

• 3) ∫ (e^(x/4) - 3x + 2) dx

  Интегрируем по частям:

  ∫ e^(x/4) dx - 3 ∫ x dx + 2 ∫ dx = 4e^(x/4) - 3 * (1/2)x² + 2x + C = 4e^(x/4) - (3/2)x² + 2x + C

• 4) ∫ (5sin 3x + 6cos(3x/2)) dx

  Интегрируем по частям:

  5 ∫ sin 3x dx + 6 ∫ cos(3x/2) dx = 5 * (-1/3)cos 3x + 6 * (2/3)sin(3x/2) + C = -(5/3)cos 3x + 4sin(3x/2) + C

• 5) ∫ 2/cos²5x dx

  Используем формулу ∫ 1/cos²x dx = tan x

  2 ∫ 1/cos²5x dx = 2 * (1/5)tan 5x + C = (2/5)tan 5x + C

• 6) ∫ 1/√(x²-1) dx

  Используем формулу ∫ 1/√(x²-a²) dx = ln|x + √(x²-a²)| + C

  ∫ 1/√(x²-1) dx = ln|x + √(x²-1)| + C

• 7) ∫ 8/√(25-4x²) dx

  ∫ 8/√(25-4x²) dx = 8 ∫ 1/√(25-4x²) dx

  Заменим u = 2x, du = 2 dx, dx = 1/2 du

  8 ∫ 1/√(25-4x²) dx = 4 ∫ 1/√(25-u²) du = 4 arcsin(u/5) + C = 4 arcsin(2x/5) + C

• 8) ∫ 1/(x²-2) dx

  Используем формулу ∫ 1/(x²-a²) dx = (1/(2a))ln|(x-a)/(x+a)| + C

  ∫ 1/(x²-2) dx = (1/(2√2))ln|(x-√2)/(x+√2)| + C

• 9) ∫ 1/(x²+25) dx

  Используем формулу ∫ 1/(x²+a²) dx = (1/a)arctan(x/a) + C

  ∫ 1/(x²+25) dx = (1/5)arctan(x/5) + C